《非線性物理》課程論文
混沌分形研究
摘 要：本文介紹分形理論的產(chǎn)生與發(fā)展現(xiàn)狀，讓初學(xué)者了解這一非線性科學(xué)中的又一角色在我們認(rèn)識復(fù)雜世界的思維過程中的重要性，讓我們再一次看到自然界的混沌性。希望更多的有志青年投入到貫穿各個(gè)領(lǐng)域的非線性科學(xué)的研究中。
非線性 分形理論概述 分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科。分形的概念是美籍?dāng)?shù)學(xué)家曼德布羅特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美國權(quán)威的《科學(xué)》雜志上發(fā)表了題為《英國的海岸線有多長?》的著名論文。海岸線作為曲線，其特征是極不規(guī)則、極不光滑的，呈現(xiàn)極其蜿蜒復(fù)雜的變化。我們不能從形狀和結(jié)構(gòu)上區(qū)分這部分海岸與那部分海岸有什么本質(zhì)的不同,這種幾乎同樣程度的不規(guī)則性和復(fù)雜性,說明海岸線在形貌上是自相似的，也就是局部形態(tài)和整體形態(tài)的相似。在沒有建筑物或其他東西作為參照物時(shí),在空中拍攝的100公里長的海岸線與放大了的10公里長海岸線的兩張照片，看上去會(huì)十分相似。事實(shí)上，具有自相似性的形態(tài)廣泛存在于自然界中，如：連綿的山川、飄浮的云朵、巖石的斷裂口、布朗粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡、樹冠、花菜、大腦皮層……曼德布羅特把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形 (fractal)。1975年,他創(chuàng)立了分形幾何學(xué)(fractal geometry)。在此基礎(chǔ)上，形成了研究分形性質(zhì)及其應(yīng)用的科學(xué)，稱為分形理論 (fractal theory)。
分形理論既是非線性科學(xué)的前沿和重要分支，又是一門新興的橫斷學(xué)科。作為一種方法論和認(rèn)識論，其啟示是多方面的：一是分形整體與局部形態(tài)的相似，啟發(fā)人們通過認(rèn)識部分來認(rèn)識整體，從有限中認(rèn)識無限；二是分形揭示了介于整體與部分、有序與無序、復(fù)雜與簡單之間的新形態(tài)、新秩序；三是分形從一特定層面揭示了世界普遍聯(lián)系和統(tǒng)一的圖景。
分行理論：
自相似原則：線性分形又稱為自相似分型。自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。它表征分形在通常的幾何變換下具有不變性,即標(biāo)度無關(guān)性。由自相似性是從不同尺度的對稱出發(fā),也就意味著遞歸。分形形體中的自相似性可以是完全相同,也可以是統(tǒng)計(jì)意義上的相似。標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象,迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu),如科契(Koch)雪花路線、謝爾賓斯基(Sierpinski)地毯曲線等。這種有規(guī)分形只是少數(shù),絕大部分分形是統(tǒng)計(jì)意義上的無規(guī)分形。 這里再進(jìn)一步介紹分形的分類，根據(jù)自相似性的程度，分形可以分為有規(guī)分形和無規(guī)分形，有規(guī)分形是指具體有嚴(yán)格的自相似性，即可以通過簡單的數(shù)學(xué)模型來描述其相似性的分形，比如三分康托集、Koch曲線等；無規(guī)分形是指具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的自相似性的分形，比如曲折連綿的海岸線，漂浮的云朵等。
分維作用：分維，作為分形的定量表征和基本參數(shù)，是分形理論的又一重要原則。分維，又稱分形維或分?jǐn)?shù)維，通常用分?jǐn)?shù)或帶小數(shù)點(diǎn)的數(shù)表示。長期以來人們習(xí)慣于將點(diǎn)定義為零維，直線為一維，平面為二維，空間為三維，愛因斯坦在相對論中入時(shí)間維，就形成四維時(shí)空。對某一問題給予多方面的考慮，可建立高維空間，但都是整數(shù)維。在數(shù)學(xué)上，把歐氏空間的幾何對象連續(xù)地拉伸、壓縮、扭曲，維數(shù)也不變，這就是拓?fù)渚S數(shù)。然而，這種傳統(tǒng)的維數(shù)觀受到了挑戰(zhàn)。曼德布羅特曾描述過一個(gè)繩球的維數(shù)：從很遠(yuǎn)的距離觀察這個(gè)繩球，可看作一點(diǎn)(零維)；從較近的距離觀察，它充滿了一個(gè)球形空間(三維)；再近一些，就看到了繩子(一維)；再向微觀深入，繩子又變成了三維的柱，三維的柱又可分解成一維的纖維。那么，介于這些觀察點(diǎn)之間的中間狀態(tài)又如何呢？
顯然，并沒有繩球從三維對象變成一維對象的確切界限。數(shù)學(xué)家豪斯道夫年提出了連續(xù)空間的概念，也就是空間維數(shù)是可以連續(xù)變化的，它可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)，稱為豪斯道夫維數(shù)。記作Df，一般的表達(dá)式為：K=LDf，也作K=(1/L)-Df，取對數(shù)并整理得Df=lnK/lnL，其中L為某客體沿其每個(gè)獨(dú)立方向皆擴(kuò)大的倍數(shù)，K為得到的新客體是原客體的倍數(shù)。顯然，Df在一般情況下是一個(gè)分?jǐn)?shù)。因此，曼德布羅特也把分形定義為豪斯道夫維數(shù)大于或等于拓?fù)渚S數(shù)的集合。英國的海岸線為什么測不準(zhǔn)？因?yàn)闅W氏一維測度與海岸線的維數(shù)不一致。根據(jù)曼德布羅特的計(jì)算，英國海岸線的維數(shù)為1.26。有了分維，海岸線的長度就確定了。
幾種典型的分形：
三分康托集：
1883年，德國數(shù)學(xué)家康托(G.Cantor)提出了如今廣為人知的三分康托集。三分康托集是很容易構(gòu)造的，然而，它卻顯示出許多最典型的分形特征。它是從單位區(qū)間出發(fā) 。
區(qū)間不斷地去掉部分子區(qū)間的過程
三分康托集的構(gòu)造過程 構(gòu)造出來的(如右圖)。其詳細(xì)構(gòu)造過程是：第一步，把閉區(qū)間[0，1]平均分為三段，去掉中間的 1/3 部分段，則只剩下兩個(gè)閉區(qū)間[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間各自平均分為三段，同樣去掉中間的區(qū)間段，這時(shí)剩下四段閉區(qū)間：[0，1/9]，[2/9，1/3]，
[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重復(fù)刪除每個(gè)小區(qū)間中間的 1/3 段。如此不斷的分割下去， 最后剩下的各個(gè)小區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集。 三分康托集的 Hausdorff維數(shù)是0.6309。
1904年，瑞典數(shù)學(xué)家柯郝構(gòu)造了 “Koch曲線”幾何圖形。Koch曲線大于一維，具有無限的長度，但是又小于二維，并且生成的圖形的面積為零。它和三分康托集一樣，是一個(gè)典型的分形。根據(jù)分形的次數(shù)不同，生成的Koch 曲線也有很多種，比如三次 Koch 曲線，四次 Koch 曲線等。下面以三次 Koch 曲線為例，介紹 Koch 曲線的構(gòu)造方法。
依此類推。
三次Koch曲線的構(gòu)造過程主要分為三大步驟：第一步，給定一個(gè)初始圖形——一條線段；第二步，將這條線段中間的 1/3 處向外折起；第三步，按照第二步的方法不斷的把各段線段中間的 1/3 處向外折起。這樣無限的進(jìn)行下去，最終即可構(gòu)造出Koch曲線。其圖例構(gòu)造過程如右圖所示(迭代了 6 次的圖形)。Julia 集
分形理論的發(fā)展
分形理論自從誕生之后就得到了迅速的發(fā)展，并在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、思維科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域都獲得了廣泛的應(yīng)用。如今，分形和分維的概念早已從最初所指的形態(tài)上具有自相似性質(zhì)的幾何對象這種狹義分形，擴(kuò)展到了在結(jié)構(gòu)、功能、信息、時(shí)間上等具有自相似性質(zhì)的廣義分形。人們在自然、社會(huì)、思維等各個(gè)領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了分形現(xiàn)象，出現(xiàn)了諸如分形物理學(xué)、分形生物學(xué)、分形結(jié)構(gòu)地質(zhì)學(xué)、分形地震學(xué)、分形經(jīng)濟(jì)學(xué)、分形人口學(xué)等，發(fā)現(xiàn)了材料學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)中的分形及思維分形、情報(bào)分形等等。
人們現(xiàn)在已經(jīng)認(rèn)識到分形理論所揭示的自相似現(xiàn)象和混沌、破碎現(xiàn)象在客觀世界中是普遍存在的。
分形的概念和思想現(xiàn)正在被人們抽象為一種科學(xué)方法論，這就是分形方法論。它的內(nèi)容主要包括以下兩點(diǎn)：第一，以分形客體的部分和整體之間的自相似性為銳利的武器，通過認(rèn)識部分來反映和認(rèn)識整體，以及通過認(rèn)識整體來把握和深化對部分的認(rèn)識；第二，運(yùn)用分形理論的思想和方法，從無序中發(fā)現(xiàn)有序，揭示雜亂、破碎、混沌等極不規(guī)則的復(fù)雜現(xiàn)象內(nèi)部所蘊(yùn)涵的規(guī)律。
分形方法論從本質(zhì)上看也是一種系統(tǒng)方法，研究分形現(xiàn)象需要系統(tǒng)的觀點(diǎn)和方法。分形方法論的產(chǎn)生是屬于清算還原論、倡導(dǎo)系統(tǒng)方法論這一科學(xué)發(fā)展總趨勢的產(chǎn)物，它是復(fù)雜性。
研究的一個(gè)方面軍，是近30多年來提出的處理復(fù)雜性的理論方案之一。分形學(xué)理論和自組織理論、混沌理論密切相關(guān)，它與混沌理論及孤子理論被人們譽(yù)為現(xiàn)代非線性科學(xué)的三大前沿。
分形理論的.企業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)觀點(diǎn)外延：人類社會(huì)不同的階層具有自相似的結(jié)構(gòu)，僅此而言，非線性問題的研究對社會(huì)的進(jìn)步與發(fā)展有著積極的推動(dòng)作用。隨著知識經(jīng)濟(jì)時(shí)代的到來，非線性科學(xué)在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)將得到更為廣泛的應(yīng)用與發(fā)展，特別是企業(yè)組織在網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟(jì)環(huán)境下的變革方面尤為突出。凱思斯學(xué)派認(rèn)為，社會(huì)商品產(chǎn)量N完全由社會(huì)有效需求所決定，此為決定論的觀點(diǎn)。分形論則認(rèn)為，社會(huì)總產(chǎn)出與社會(huì)總需求的關(guān)系是非常復(fù)雜的。它們的關(guān)系可能是周期性的，也可能是出現(xiàn)某中混沌局面。對于當(dāng)前國際金融風(fēng)暴的形式下，該混沌現(xiàn)象直接影響到企業(yè)組織的發(fā)展與優(yōu)化。
分形理論的管理學(xué)應(yīng)用： 管理科學(xué)是一門綜合性學(xué)科，其內(nèi)涵十分豐富。它不僅涉及到生產(chǎn)關(guān)系與上層建筑，也涉及到生產(chǎn)力的組織與應(yīng)用。近年來，由于城市的快速發(fā)展.隨之而來的是社會(huì)治安、交通擁擠、環(huán)境污染、人口控制、能源緊缺等一系列問題。用分形論原理管理城市是近年來崛起的管理科學(xué)中的一個(gè)分支。城市建筑、道路分布、商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)布局、生活服務(wù)設(shè)施建設(shè)、信息告訴公路建設(shè)等在一定程度上滿足了分形結(jié)構(gòu)的研究理論范疇。在管理科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，其組織建設(shè)、管理方法與手段等方面都表現(xiàn)出一定的層次、結(jié)構(gòu)、功能和信息的相似性。從最底層管理到最高層管理、從局部到整體、從政務(wù)與科技管理到經(jīng)濟(jì)財(cái)務(wù)管理，也都體現(xiàn)著一定的自相似性。可以認(rèn)為，在知識經(jīng)濟(jì)社會(huì)里，分形理論將成為管理科學(xué)的基礎(chǔ)。 分形理論的管理學(xué)應(yīng)用：管理科學(xué)是一門綜合性學(xué)科，其內(nèi)涵十分豐富。它不僅涉及到生產(chǎn)關(guān)系與上層建筑，也涉及到生產(chǎn)力的組織與應(yīng)用。近年來，由于城市的快速發(fā)展.隨之而來的是社會(huì)治安、交通擁擠、環(huán)境污染、人口控制、能源緊缺等一系列問題。用分形論原理管理城市是近年來崛起的管理科學(xué)中的一個(gè)分支。城市建筑、道路分布、商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)布局、生活服務(wù)設(shè)施建設(shè)、信息告訴公路建設(shè)等在一定程度上滿足了分形結(jié)構(gòu)的研究理論范疇。在管理科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，其組織建設(shè)、管理方法與手段等方面都表現(xiàn)出一定的層次、結(jié)構(gòu)、功能和信息的相似性。從最底層管理到最高層管理、從局部到整體、從政務(wù)與科技管理到經(jīng)濟(jì)財(cái)務(wù)管理，也都體現(xiàn)著一定的自相似性。可以認(rèn)為，在知識經(jīng)濟(jì)社會(huì)里，分形理論將成為管理科學(xué)的基礎(chǔ)。
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