《非線性物理》課程論文
混沌分形研究
摘 要：本文介紹分形理論的產生與發展現狀，讓初學者了解這一非線性科學中的又一角色在我們認識復雜世界的思維過程中的重要性，讓我們再一次看到自然界的混沌性。希望更多的有志青年投入到貫穿各個領域的非線性科學的研究中。
非線性 分形理論概述 分形理論是當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科。分形的概念是美籍數學家曼德布羅特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美國權威的《科學》雜志上發表了題為《英國的海岸線有多長?》的著名論文。海岸線作為曲線，其特征是極不規則、極不光滑的，呈現極其蜿蜒復雜的變化。我們不能從形狀和結構上區分這部分海岸與那部分海岸有什么本質的不同,這種幾乎同樣程度的不規則性和復雜性,說明海岸線在形貌上是自相似的，也就是局部形態和整體形態的相似。在沒有建筑物或其他東西作為參照物時,在空中拍攝的100公里長的海岸線與放大了的10公里長海岸線的兩張照片，看上去會十分相似。事實上，具有自相似性的形態廣泛存在于自然界中，如：連綿的山川、飄浮的云朵、巖石的斷裂口、布朗粒子運動的軌跡、樹冠、花菜、大腦皮層……曼德布羅特把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形 (fractal)。1975年,他創立了分形幾何學(fractal geometry)。在此基礎上，形成了研究分形性質及其應用的科學，稱為分形理論 (fractal theory)。
分形理論既是非線性科學的前沿和重要分支，又是一門新興的橫斷學科。作為一種方法論和認識論，其啟示是多方面的：一是分形整體與局部形態的相似，啟發人們通過認識部分來認識整體，從有限中認識無限；二是分形揭示了介于整體與部分、有序與無序、復雜與簡單之間的新形態、新秩序；三是分形從一特定層面揭示了世界普遍聯系和統一的圖景。
分行理論：
自相似原則：線性分形又稱為自相似分型。自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。它表征分形在通常的幾何變換下具有不變性,即標度無關性。由自相似性是從不同尺度的對稱出發,也就意味著遞歸。分形形體中的自相似性可以是完全相同,也可以是統計意義上的相似。標準的自相似分形是數學上的抽象,迭代生成無限精細的結構,如科契(Koch)雪花路線、謝爾賓斯基(Sierpinski)地毯曲線等。這種有規分形只是少數,絕大部分分形是統計意義上的無規分形。 這里再進一步介紹分形的分類，根據自相似性的程度，分形可以分為有規分形和無規分形，有規分形是指具體有嚴格的自相似性，即可以通過簡單的數學模型來描述其相似性的分形，比如三分康托集、Koch曲線等；無規分形是指具有統計學意義上的自相似性的分形，比如曲折連綿的海岸線，漂浮的云朵等。
分維作用：分維，作為分形的定量表征和基本參數，是分形理論的又一重要原則。分維，又稱分形維或分數維，通常用分數或帶小數點的數表示。長期以來人們習慣于將點定義為零維，直線為一維，平面為二維，空間為三維，愛因斯坦在相對論中入時間維，就形成四維時空。對某一問題給予多方面的考慮，可建立高維空間，但都是整數維。在數學上，把歐氏空間的幾何對象連續地拉伸、壓縮、扭曲，維數也不變，這就是拓撲維數。然而，這種傳統的維數觀受到了挑戰。曼德布羅特曾描述過一個繩球的維數：從很遠的距離觀察這個繩球，可看作一點(零維)；從較近的距離觀察，它充滿了一個球形空間(三維)；再近一些，就看到了繩子(一維)；再向微觀深入，繩子又變成了三維的柱，三維的柱又可分解成一維的纖維。那么，介于這些觀察點之間的中間狀態又如何呢？
顯然，并沒有繩球從三維對象變成一維對象的確切界限。數學家豪斯道夫年提出了連續空間的概念，也就是空間維數是可以連續變化的，它可以是整數也可以是分數，稱為豪斯道夫維數。記作Df，一般的表達式為：K=LDf，也作K=(1/L)-Df，取對數并整理得Df=lnK/lnL，其中L為某客體沿其每個獨立方向皆擴大的倍數，K為得到的新客體是原客體的倍數。顯然，Df在一般情況下是一個分數。因此，曼德布羅特也把分形定義為豪斯道夫維數大于或等于拓撲維數的集合。英國的海岸線為什么測不準？因為歐氏一維測度與海岸線的維數不一致。根據曼德布羅特的計算，英國海岸線的維數為1.26。有了分維，海岸線的長度就確定了。
幾種典型的分形：
三分康托集：
1883年，德國數學家康托(G.Cantor)提出了如今廣為人知的三分康托集。三分康托集是很容易構造的，然而，它卻顯示出許多最典型的分形特征。它是從單位區間出發 。
區間不斷地去掉部分子區間的過程
三分康托集的構造過程 構造出來的(如右圖)。其詳細構造過程是：第一步，把閉區間[0，1]平均分為三段，去掉中間的 1/3 部分段，則只剩下兩個閉區間[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再將剩下的兩個閉區間各自平均分為三段，同樣去掉中間的區間段，這時剩下四段閉區間：[0，1/9]，[2/9，1/3]，
[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重復刪除每個小區間中間的 1/3 段。如此不斷的分割下去， 最后剩下的各個小區間段就構成了三分康托集。 三分康托集的 Hausdorff維數是0.6309。
1904年，瑞典數學家柯郝構造了 “Koch曲線”幾何圖形。Koch曲線大于一維，具有無限的長度，但是又小于二維，并且生成的圖形的面積為零。它和三分康托集一樣，是一個典型的分形。根據分形的次數不同，生成的Koch 曲線也有很多種，比如三次 Koch 曲線，四次 Koch 曲線等。下面以三次 Koch 曲線為例，介紹 Koch 曲線的構造方法。
依此類推。
三次Koch曲線的構造過程主要分為三大步驟：第一步，給定一個初始圖形——一條線段；第二步，將這條線段中間的 1/3 處向外折起；第三步，按照第二步的方法不斷的把各段線段中間的 1/3 處向外折起。這樣無限的進行下去，最終即可構造出Koch曲線。其圖例構造過程如右圖所示(迭代了 6 次的圖形)。Julia 集
分形理論的發展
分形理論自從誕生之后就得到了迅速的發展，并在自然科學、社會科學、思維科學等各個領域都獲得了廣泛的應用。如今，分形和分維的概念早已從最初所指的形態上具有自相似性質的幾何對象這種狹義分形，擴展到了在結構、功能、信息、時間上等具有自相似性質的廣義分形。人們在自然、社會、思維等各個領域都發現了分形現象，出現了諸如分形物理學、分形生物學、分形結構地質學、分形地震學、分形經濟學、分形人口學等，發現了材料學、化學、天文學中的分形及思維分形、情報分形等等。
人們現在已經認識到分形理論所揭示的自相似現象和混沌、破碎現象在客觀世界中是普遍存在的。
分形的概念和思想現正在被人們抽象為一種科學方法論，這就是分形方法論。它的內容主要包括以下兩點：第一，以分形客體的部分和整體之間的自相似性為銳利的武器，通過認識部分來反映和認識整體，以及通過認識整體來把握和深化對部分的認識；第二，運用分形理論的思想和方法，從無序中發現有序，揭示雜亂、破碎、混沌等極不規則的復雜現象內部所蘊涵的規律。
分形方法論從本質上看也是一種系統方法，研究分形現象需要系統的觀點和方法。分形方法論的產生是屬于清算還原論、倡導系統方法論這一科學發展總趨勢的產物，它是復雜性。
研究的一個方面軍，是近30多年來提出的處理復雜性的理論方案之一。分形學理論和自組織理論、混沌理論密切相關，它與混沌理論及孤子理論被人們譽為現代非線性科學的三大前沿。
分形理論的.企業經濟學觀點外延：人類社會不同的階層具有自相似的結構，僅此而言，非線性問題的研究對社會的進步與發展有著積極的推動作用。隨著知識經濟時代的到來，非線性科學在各個學科領域內將得到更為廣泛的應用與發展，特別是企業組織在網絡經濟環境下的變革方面尤為突出。凱思斯學派認為，社會商品產量N完全由社會有效需求所決定，此為決定論的觀點。分形論則認為，社會總產出與社會總需求的關系是非常復雜的。它們的關系可能是周期性的，也可能是出現某中混沌局面。對于當前國際金融風暴的形式下，該混沌現象直接影響到企業組織的發展與優化。
分形理論的管理學應用： 管理科學是一門綜合性學科，其內涵十分豐富。它不僅涉及到生產關系與上層建筑，也涉及到生產力的組織與應用。近年來，由于城市的快速發展.隨之而來的是社會治安、交通擁擠、環境污染、人口控制、能源緊缺等一系列問題。用分形論原理管理城市是近年來崛起的管理科學中的一個分支。城市建筑、道路分布、商業網點布局、生活服務設施建設、信息告訴公路建設等在一定程度上滿足了分形結構的研究理論范疇。在管理科學領域內，其組織建設、管理方法與手段等方面都表現出一定的層次、結構、功能和信息的相似性。從最底層管理到最高層管理、從局部到整體、從政務與科技管理到經濟財務管理，也都體現著一定的自相似性。可以認為，在知識經濟社會里，分形理論將成為管理科學的基礎。 分形理論的管理學應用：管理科學是一門綜合性學科，其內涵十分豐富。它不僅涉及到生產關系與上層建筑，也涉及到生產力的組織與應用。近年來，由于城市的快速發展.隨之而來的是社會治安、交通擁擠、環境污染、人口控制、能源緊缺等一系列問題。用分形論原理管理城市是近年來崛起的管理科學中的一個分支。城市建筑、道路分布、商業網點布局、生活服務設施建設、信息告訴公路建設等在一定程度上滿足了分形結構的研究理論范疇。在管理科學領域內，其組織建設、管理方法與手段等方面都表現出一定的層次、結構、功能和信息的相似性。從最底層管理到最高層管理、從局部到整體、從政務與科技管理到經濟財務管理，也都體現著一定的自相似性。可以認為，在知識經濟社會里，分形理論將成為管理科學的基礎。
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