摘 要：教學(xué)實(shí)踐表明，課堂教學(xué)的有效性離不開(kāi)教師的引導(dǎo)，教師引導(dǎo)的有效性決定于教師的專業(yè)水平。根據(jù)初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的地位和特點(diǎn)，結(jié)合 PCK 內(nèi)涵的四個(gè)組成部分進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的 PCK 內(nèi)涵解析，能幫助教師深刻理解概念本質(zhì)、認(rèn)識(shí)概念教學(xué)的學(xué)科教育價(jià)值，能夠理解學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與困難，可以進(jìn)一步闡釋概念的本質(zhì)屬性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，可以提升概念教學(xué)的有效性。

　　關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)；PCK 內(nèi)涵解析；數(shù)學(xué)概念 PCK 內(nèi)涵。

一、初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義及一般方法。

　　（一）初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義。

　　概念是事物本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是思維的基本形式之一，是進(jìn)行判斷和推理的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式，是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想方法的重要載體。而數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念本身，更重要的是在獲得概念本質(zhì)屬性的過(guò)程中，通過(guò)觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的推理能力、抽象思維，體會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科和學(xué)生發(fā)展都有重要的意義。

　　（二）初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般方法。

　　在初中數(shù)學(xué)課程中，概念眾多，南京師范學(xué)院的章飛教授就概念教學(xué)實(shí)施的角度，將概念分成 3 類（對(duì)象性概念、度量性概念、觀念性概念），其中的對(duì)象性概念是教學(xué)的重點(diǎn)之一。對(duì)象即數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，如各種數(shù)、各種式、各種圖形的概念。概念教學(xué)的過(guò)程一般要經(jīng)歷：一是概念的引入（揭示研究的必要性）；二是概念的獲得（揭示概念本質(zhì)屬性的過(guò)程）；三是概念的鞏固與運(yùn)用（了解概念的運(yùn)用，在運(yùn)用中進(jìn)一步理解、鞏固概念）三個(gè)過(guò)程。其中概念的獲得最重要，它主要有兩種基本形式---概念的同化和概念的形成（具體見(jiàn)圖 1、圖 2）。

　　從圖中可以看出，“概念的同化”是直接明晰概念，通過(guò)教師的講解、解釋，學(xué)生逐步明確概念的內(nèi)涵；通過(guò)運(yùn)用變式的材料和例證，學(xué)生明確概念的外延。“概念的形成”是經(jīng)歷對(duì)具體特殊實(shí)例的特征的歸納、類比，檢驗(yàn)后明確概念的本質(zhì)屬性；給出定義并用常用的形式符號(hào)表示概念。這就要求學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)對(duì)概念本質(zhì)屬性的抽象過(guò)程，在此過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的抽象思維、推理能力、符號(hào)意識(shí)、模型思想等，并使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)的學(xué)科觀念。

　　可見(jiàn)，不管采用哪種方式，教師都必須準(zhǔn)確、深刻地理解概念的本質(zhì)屬性，了解概念的內(nèi)涵外延，有清晰、完整的概念結(jié)構(gòu)體系。同時(shí)，要了解不同概念適用哪種概念獲得的方式。這就依靠教師對(duì)概念本身的理解，并設(shè)計(jì)出有效的概念教學(xué)策略。如果教師對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解有偏差，對(duì)概念體系的認(rèn)識(shí)不完整，對(duì)概念承載的數(shù)學(xué)教育價(jià)值不明確，那么，不論采取了怎樣的課堂模式和教學(xué)策略，都不能夠達(dá)成概念教學(xué)應(yīng)有的目標(biāo)，也就不能體現(xiàn)概念教學(xué)的意義。

二、進(jìn)行初中數(shù)學(xué)概念 PCK 內(nèi)涵解析的作用。

　　（一）運(yùn)用 PCK 內(nèi)涵解析進(jìn)行概念教學(xué)可以進(jìn)一步闡釋概念的本質(zhì)屬性。

　　經(jīng)過(guò)十多年的新課程改革實(shí)驗(yàn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》倡導(dǎo)的教學(xué)理念已經(jīng)逐步轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為，在概念教學(xué)中，教師一般都能讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過(guò)程，很少出現(xiàn)“一個(gè)定義、幾項(xiàng)注意”的概念教學(xué)方式。但是，在“引導(dǎo)學(xué)生探究概念本質(zhì)屬性”的過(guò)程中，卻屢屢出現(xiàn)對(duì)本質(zhì)屬性理解不準(zhǔn)確的問(wèn)題。尤其是，初中數(shù)學(xué)教材中很多概念的定義是用“形式化定義”或“發(fā)生式定義”方式給出的，其定義并沒(méi)有揭示了概念的本質(zhì)屬性。在這些概念的教學(xué)中，教師就更容易出現(xiàn)將“形式化定義”作為概念本質(zhì)屬性的現(xiàn)象，在課堂上反復(fù)進(jìn)行針對(duì)定義的辨析，而忽略引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)概念所蘊(yùn)含的豐富的問(wèn)題情境、思想方法，使概念教學(xué)缺少了應(yīng)有的教育價(jià)值。這樣，既不能使學(xué)生深刻理解概念，也不能通過(guò)概念教學(xué)的過(guò)程發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。例如，在“方程概念”的教學(xué)中，有些教師認(rèn)為“方程”概念的本質(zhì)屬性是“含有未知數(shù)的等式”,由此可見(jiàn)，在課堂上讓學(xué)生大量進(jìn)行“判定下列各式是不是方程”的訓(xùn)練，使方程概念的教學(xué)成為辨析形式化定義的刻板過(guò)程，不能體現(xiàn)方程概念的教育價(jià)值。其實(shí)“方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”,其本質(zhì)是：建立已知、未知之間的聯(lián)系，并借助已知求量求出未知量，繼而解決問(wèn)題“.在方程概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷”用方程刻畫(huà)不同情境中的等量關(guān)系的過(guò)程“,抽象出”本質(zhì)屬性“,并體會(huì)”方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要模型“這一思想，以發(fā)展學(xué)生的抽象思維和模型思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科概念教學(xué)的價(jià)值。

　　（二）進(jìn)行初中數(shù)學(xué)概念 PCK 內(nèi)涵解析可以有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

　　正確理解概念的本質(zhì)特征是教師進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的必要前提，是通過(guò)概念教學(xué)發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)、體現(xiàn)概念教育價(jià)值的保證。那么，在概念教學(xué)中怎樣才能避免出現(xiàn)以上問(wèn)題，從而體現(xiàn)概念教學(xué)的價(jià)值呢？

　　如二次函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，有利于發(fā)展學(xué)生”數(shù)學(xué)抽象“的核心素養(yǎng)，發(fā)展符號(hào)意識(shí)。抽象是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征之一，也是數(shù)學(xué)最基本的思想之一。在二次函數(shù)概念教學(xué)時(shí)，學(xué)生將經(jīng)歷從豐富的實(shí)際問(wèn)題中建立出函數(shù)關(guān)系式，然后分析所得到的函數(shù)關(guān)系的特點(diǎn)，抽象出共性特征，從而建立二次函數(shù)的概念。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生最主要的思維活動(dòng)就是”抽象“,因此，合理設(shè)計(jì)二次函數(shù)概念的教學(xué)將有利于發(fā)展學(xué)生”數(shù)學(xué)抽象“的核心素養(yǎng)，同時(shí)在建立二次函數(shù)一般形式的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

　　再如，二次函數(shù)概念的教學(xué)，有利于發(fā)展學(xué)生”數(shù)學(xué)建模“的核心素養(yǎng)，體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。二次函數(shù)在軍事、體育、物理、心理、建筑等現(xiàn)實(shí)世界中都有廣泛應(yīng)用，是一種重要的”數(shù)學(xué)模型“.在二次函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要分析不同情境中變量關(guān)系與變化規(guī)律，建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，這個(gè)過(guò)程就是”建模“.

　　二次函數(shù)概念教學(xué)這一重要概念的教育價(jià)值還體現(xiàn)在”過(guò)程與方法“層面。對(duì)于學(xué)生而言，獲得二次函數(shù)概念的過(guò)程是”從特殊到一般再到特殊“的認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程，而二次函數(shù)所刻畫(huà)的問(wèn)題的復(fù)雜性，更實(shí)現(xiàn)了學(xué)生研究函數(shù)問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)與方法的進(jìn)一步的積累與提升。

　　由引可見(jiàn)，對(duì)一個(gè)概念的”P(pán)CK 內(nèi)涵“作透徹解析，可以幫助教師深入理解所教概念的本質(zhì)，了解這一概念與其他內(nèi)容的聯(lián)系，獲得概念教學(xué)目標(biāo)中的知識(shí)技能目標(biāo)。能夠幫助教師理解數(shù)學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、使學(xué)生在學(xué)習(xí)該知識(shí)的過(guò)程中能夠發(fā)展其數(shù)學(xué)素養(yǎng)、形成學(xué)科觀念。