【例1】已知一個多邊形，它的外角和等于內(nèi)角和的四分之—，求這個多邊形的邊數(shù).

　　【解析】本題根據(jù)多邊形的內(nèi)角和(與邊數(shù)n有關(guān))與外角和(恒為360°，與邊數(shù)無關(guān))的一種關(guān)系，利用己知條件列出關(guān)于n的一元一次方程，求解邊數(shù)n.

　　【答案】設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，因為它的內(nèi)角和等于(n-2)180°，外角和等于360°，根據(jù)題意，得(n-2)180=300.

　　解得n=10.

　　答:這個多邊形的邊數(shù)是10.

　　【例2】己知一個多邊形的各個內(nèi)角都是120°，求這個多邊形的邊數(shù).

　　【解析】此題既可用多邊形內(nèi)角和公式列方程求解，也可以由多邊形的外角和等于360°列方程求解.不論用什么方法求解，都要抓住問題的實質(zhì)，列方程求解是解這類題的常用方法.

　　【答案】解法一設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則有(n-2)180°=n150

　　解得n=12

　　解法二設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則有

　　n(180-150)=360

　　解得n=12

　　【例3】凸多邊形的每一個內(nèi)角都小于180°，那么凸多邊形中最多可以有幾個鈍角?幾個銳角?幾個直角呢?

　　【解析】由于凸多邊形的邊數(shù)不確定，可以由邊數(shù)較少的情形來探索，再歸納出一般性的結(jié)論.

　　【答案】設(shè)凸多邊形的邊數(shù)為n，當n=3時，三角形最多只有一個鈍角;當n=4時，因為四邊形的內(nèi)角和為360°，故不可能有四個鈍角，但現(xiàn)在可以有3個鈍角，當n≥5時，看正n邊形，它的所有內(nèi)角都相等，則所有的外角也都相等，由于n邊形的外角和為360°，故每一個外角為，由于n≥5，<90°,即正n邊形的每一個外角均為銳角.故n邊形(n≥5)可有n個鈍角.

　　當n=3時，三角形最多有三個銳角(如銳角三角形);當n=4時，四邊形不可能四個角都是銳角，否則內(nèi)角和小于360°;當n≥5時，多邊形不可能多于3個銳角，否則若有四個內(nèi)角為銳角，則這四個銳角的外角為鈍角，其外角和大于360°.故當n≥5時，多邊形最多有三個內(nèi)角是銳角.故凸多邊形中銳角最多有三個.

　　當n=3時，最多只有一個直角(直角三角形);

　　當n=4時，最多有四個直角(矩形);當n≥5時，最多有三個直角，否則若有四個直角，則四個外角為直角，從而這個多邊形的外角和大于360°.故凸多邊形最多有四個直角.

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