菱形的練習題
一 選擇題：
1。下列四邊形中不一定為菱形的是（ ）
A。對角線相等的平行四邊形 B。每條對角線平分一組對角的四邊形
C。對角線互相垂直的平行四邊形 D。用兩個全等的 等邊三角形拼成的四邊形
2。下列說法中正確的是（ ）
A。四邊相等的四邊形是菱形
B。一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是菱形
C。對角線互相垂直的四邊形是菱形
D。對角線互相平分的四邊形是菱形
3。若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是（ ）
A。菱形 B。對角線互相垂直的四邊形 C。矩形 D。對角線相等的四邊形
4。菱形的周長為8cm，高為1cm，則菱形兩鄰角度數比為（ ）
A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1
5。四個點A，B，C，D在同一平面內，從①AB‖CD；②AB=CD；③ AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD‖BC．這5個條件中任選三個，能使四邊形ABCD是菱形的選法有（ ）．
A。1種 B。2種 C。3種 D。4種
6。如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線EF交對角線AC于點F，垂足為點E，連接DF，若∠CDF=24°，則∠DAB等于（ ）
A．100° B．104° C．105° D．110°
7。如圖，在長方形ABCD中，AB=12，AD=14，E為AB的中點，點F，G分別在CD，AD上，若CF=4，且△EFG為等腰直角三角形，則EF的長為（ ）
A。10 B。10 C。12 D。12
8。用一條直線將一個菱形分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內角和分別為M和N，則M+N值不可能是（ ）
A。360° B。540° C。630° D。720°
9。如圖，在周長為12的'菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對角線BD上一動點，則EP+FP的最小值為（ ）
A。1 B。2 C。3 D。4
10。如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別是6和8，則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（ ）
A。4。8 B。5 C。6 D。7。2
11。如圖，把長方形紙片ABCD折疊，使其對角頂點C與A重合。若長方形的長BC為8，寬AB為4，則折痕EF的長度為（ ）
A。5 B。3 C。2 D。3
12。如圖，四邊形ABCD，AD與BC不平行，AB=CD。AC，BD為四邊形ABCD的對角線，E，F，G，H分別是BD，BC，AC，AD的中點。下列結論：①EG⊥FH；②四邊形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；
④EG = （BC－AD）；⑤四邊形EFGH是菱形。其中正確的個數是（ ）
A。1個 B。2個 C。3個 D。4個
二 填空題：
13。如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連接DF，則∠CDF的度數= 度．
14。如圖，正△AEF的邊長與菱形ABCD的邊長相等，點E、F分別在BC、CD上，則∠B的度數是 ．
15。把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和頂點D重合，折痕為EF．若BF=4，FC=2，則∠DEF的度數是 ．
16。如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O。如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x取值范圍是 ．
17。在菱形ABCD中，AE為BC邊上的高，若AB=5，AE=4，則線段CE的長為 ．
18。如圖，ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，點P是四邊形上的一個動點，則當△PBC為直角三角形時，BP的長為 ．
三 解答題：
19。如圖，已知△ABC中，D是BC邊的中點，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E點，若AB＝5，AC＝7，求ED．
20。如圖，在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規作∠BAD平分線交BC于點E（尺規作圖的痕跡保留在圖中了），連EF．
（1）求證：四邊形ABEF為菱形；（2）AE，BF相交于點O，若BF=6，AB=5，求AE的長．
21。如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE=2DE，過點C作CF‖BE交DE的延長線于F，連接CD．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）在不添加任何輔助線和字母的情況下，請直接寫出圖中與△BEC面積相等的所有三角形（不包括△BEC）．
22。如圖，已知在菱形ABCD中，F為邊BC的中點，DF與對角線AC交于M，過M作ME⊥CD于E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的長；（2）求證：AM=DF+ME．
23。如圖，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC，CD=CE，連接BE、AD，P為BD中點，M為AB中點、N為DE中點，連接PM、PN、MN。
（1）試判斷△PMN的形狀，并證明你的結論；
（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周長。
參考答案
1。A 2。A 3。D 4。B 5。D 6。B 7。B 8。C 9。C． 10。A 11。C 12。C
13。答案為：60．
14。案為：80°．
15。答案為：60．
16。答案為：3＜x＜11．
17。【解答】解：當點E在CB的延長線上時，如圖1所示．
∵AB=5，AE=4，∴BE=3，CE=BC+BE=8；當點E在BC邊上時，如圖2所示．
∵AB=5，AE=4，∴BE=3，CE=BC－BE=2．綜上可知：CE的長是2或8．
故答案為：2或8．
18。【解答】解：分兩種情況：
（1）①當∠BPC=90°時，作AM⊥BC于M，如圖1所示，
∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∴BM= AB=1，
∴AM= BM= ，CM=BC－BM=4－1=3，
∴AC= =2 ，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴當點P與A重合時，∠BPC=∠BAC=90°，∴BP=BA=2；
②當∠BPC=90°，點P在邊AD上，CP=CD=AB=2時，BP= = =2 ；
（2）當∠BCP=90°時，如圖3所示：則CP=AM= ，∴BP= = ；
綜上所述：當△PBC為直角三角形時，BP的長為 2或2 或 ．
19。ED＝1，提示：延長BE，交AC于F點．
20。【解答】（1）證明：由尺規作∠BAF的角平分線的過程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD‖BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=FA，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF為菱形；
（2）解：∵四邊形ABEF為菱形，∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，AO=4，∴AE=2AO=8．
21。【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE‖BC，BC=2DE．
∵CF‖BE，∴四邊形BCFE是平行四邊形．
∵BE=2DE，BC=2DE，∴BE=BC．∴BCFE是菱形；
（2）解：①∵由（1）知，四變形BCFE是菱形，∴BC=FE，BC‖EF，
∴△FEC與△BEC是等底等高的兩個三角形，∴S△FEC=S△BEC．
②△AEB與△BEC是等底同高的兩個三角形，則S△AEB=S△BEC．
③S△ADC= S△ABC，S△BEC= S△ABC，則它S△ADC=S△BEC．
④S△BDC= S△ABC，S△BEC= S△ABC，則它S△BDC=S△BEC．
綜上所述，與△BEC面積相等的三角形有：△FEC、△AEB、△ADC、△BDC．
22。【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB‖CD，∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，
∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；
（2）證明：如圖，∵F為邊BC的中點，∴BF=CF= BC，∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，∵ ，∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，延長AB交DF的延長線于點G，∵AB‖CD，∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵ ，
∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由圖形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．
23。略
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