數(shù)學(xué)知識不確定性的價(jià)值及其實(shí)現(xiàn)論文

　　20世紀(jì)末21世紀(jì)初,人類知識觀發(fā)生了重大變化：知識不再被認(rèn)為是“真理”而被當(dāng)作一個(gè)暫時(shí)的結(jié)論。它有待發(fā)展、修訂與完善。正如波普爾（Pop?per,K.)所言：“所有的科學(xué)知識，不僅是科學(xué)知識,在實(shí)質(zhì)上都是‘猜測性的知識’，都是我們對于某些問題所提出的暫時(shí)回答”。換句話說,人們認(rèn)為知識具有不確定性。由于知識是教育的主要內(nèi)容，因此知識觀的變化必然帶來教育的變化。本文主要討論數(shù)學(xué)知識的不確定性及其教學(xué)問題。

　　一、數(shù)學(xué)知識的確定性及其教育局限

　　數(shù)學(xué)知識具有確定性,其發(fā)展也是沿著確定性的道路進(jìn)行的,但這種確定性是有限度的。超過了這個(gè)限度,將不利于數(shù)學(xué)教育價(jià)值的實(shí)現(xiàn)。

　　(一)數(shù)學(xué)知識的確定性及其表征

　　1.數(shù)學(xué)知識確定性的涵義

　　通常認(rèn)為，在所有知識中，數(shù)學(xué)是最確定的。正因?yàn)槿绱耍抽T學(xué)科能否稱為“科學(xué)”，關(guān)鍵就看其能否被數(shù)學(xué)化（即能否運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法來進(jìn)行研究）。數(shù)學(xué)成了衡量其它學(xué)科能否成為科學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)。比如，社會學(xué)之所以成為一門科學(xué)，就在于孔德（Comte,A.)將實(shí)證（其中最主要是運(yùn)用了數(shù)學(xué)的手段）方法引入了社會學(xué)。那什么是數(shù)學(xué)知識的確定性呢？簡而言之,數(shù)學(xué)知識的確定性是指數(shù)學(xué)的知識結(jié)論是精確的,而且這一結(jié)論是可信的。數(shù)學(xué)知識的確定性既指數(shù)學(xué)知識是精確的,也指數(shù)學(xué)知識是客觀的，還指數(shù)學(xué)知識是永恒的、超越時(shí)空的。

　　2.數(shù)學(xué)知識確定性的表征

　　(1)數(shù)學(xué)知識確定性的歷史追溯

　　數(shù)學(xué)知識自產(chǎn)生起,就沿著確定性的道路向前發(fā)展。柏拉圖（Plato)將世界劃分為在的世界和變的世界，數(shù)學(xué)屬于在的世界，是不變的。在《理想國》第七卷中，他認(rèn)為數(shù)學(xué)是科學(xué)，強(qiáng)調(diào)“科學(xué)的真正目的是純粹為了……關(guān)于永恒事物的，而不是關(guān)于某種有時(shí)產(chǎn)生和滅亡的事物的……知識”歐幾里得（Euclid,A.)的《幾何原本》被當(dāng)作是確定性數(shù)學(xué)知識的代表作,全書包括23條定義、五條公理和五條公設(shè)。歐幾里得認(rèn)為公設(shè)是適用于一切科學(xué)的真理，公理是幾何學(xué)中的真理，它們都是確定無疑、無須證明的。

　　中世紀(jì),人們認(rèn)為數(shù)學(xué)知識是上帝預(yù)先設(shè)計(jì)好的、確定的客觀真理。在《哲學(xué)原理》中，笛卡爾（Descartes,R.)認(rèn)為要使哲學(xué)能夠統(tǒng)一所有科學(xué)，必須要用數(shù)學(xué)方法（后來他將這稱為“普遍數(shù)學(xué)”，“絕不接受我沒有確定為真的東西”。這句名言更是詮釋了他對數(shù)學(xué)確定性的追求。可以說,在20世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史就是追求數(shù)學(xué)確定性的歷史。

　　(2)數(shù)學(xué)知識確定性的權(quán)威定位

　　歷代的數(shù)學(xué)權(quán)威都認(rèn)為，數(shù)學(xué)是不變的真理；甚至認(rèn)為“自然法則就是數(shù)學(xué)規(guī)則”。柏拉圖認(rèn)為“只有從理想世界是數(shù)學(xué)知識來理解現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)在性和可知性,無疑這個(gè)世界是數(shù)學(xué)化的”。在他看來,只有掌握了數(shù)學(xué)，才能理解這個(gè)世界。因此,在柏拉圖學(xué)園門口處掛著這樣一個(gè)標(biāo)牌：“不懂幾何學(xué)者免進(jìn)”。他認(rèn)為，只有精通幾何,才能夠?qū)W習(xí)其它學(xué)科。畢達(dá)哥拉斯派甚至提出“萬物皆數(shù)”，將音樂、行星運(yùn)動歸結(jié)為數(shù)的關(guān)系,認(rèn)為數(shù)是萬物的代表,萬物都可歸結(jié)到數(shù)中。拉普拉斯（Laplace,P.S.)認(rèn)為“如果一個(gè)有理性的人在任何時(shí)刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切資料，那么他就能用一個(gè)方程式表達(dá)宇宙中最龐大的物體和最輕微的原子的運(yùn)動”，表明在他看來方程式可以表達(dá)并解釋宇宙間所有運(yùn)動，這句話也被當(dāng)作追求確定性的最高描述，即拉普拉斯方程式。蘭德爾（Randall,J.H.)在《現(xiàn)代思想的形成》中指出“科學(xué)起源于用數(shù)學(xué)解釋自然界這種信念,而且在很久以前這個(gè)信念就為經(jīng)驗(yàn)證實(shí)了”，從中可以看出數(shù)學(xué)是近代科學(xué)形成的前提。由此可知,從古希臘起,確定性數(shù)學(xué)知識在所有知識中占據(jù)權(quán)威的地位。

　　(3)數(shù)學(xué)知識確定性的價(jià)值澄明

　　數(shù)學(xué)知識確定性的表征還表現(xiàn)為，將確定性的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到其它學(xué)科中去,取得了巨大成就。

　　首先,對確定性數(shù)學(xué)知識的追求促進(jìn)天文學(xué)、物理學(xué)等自然學(xué)科的發(fā)展。如高斯（Gauss,K.F.)在24歲時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識觀察小行星谷神星，并預(yù)言了這顆行星的軌跡。伽利略（Galileo,G.)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來描述和解釋自由落體規(guī)律,促進(jìn)物理力學(xué)的發(fā)展。牛頓（Newton,I.)受伽利略影響,將數(shù)學(xué)作為描述自然定理的一個(gè)工具,如在解釋萬有引力時(shí),摒棄物理原理而只用數(shù)學(xué)原理。在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中，對天文學(xué)、物理學(xué)和數(shù)學(xué)等學(xué)科知識的證明或求解,也都采取完全數(shù)學(xué)化的過程，以大量的數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，用微積分和幾何學(xué)知識來解釋說明物體運(yùn)動和宇宙體系,促進(jìn)了物理學(xué)、天文學(xué)學(xué)科的發(fā)展。

　　其次,對確定性數(shù)學(xué)知識的追求也促進(jìn)了音樂、哲學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等人文學(xué)科和社會學(xué)科的發(fā)展。公元前600年,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用數(shù)學(xué)方法研究琴弦震動，建立了關(guān)于音樂的理論。康德（Kant,I.)認(rèn)為數(shù)學(xué)是先天的理性真理，對數(shù)學(xué)真理的追求促進(jìn)其哲學(xué)思想體系的形成‘康德的問題是揭示數(shù)學(xué)如何能先天被知道,而又能以無可更改的確定性地應(yīng)用于所有經(jīng)驗(yàn)”統(tǒng)計(jì)學(xué)中定量研究要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行精確的計(jì)算和分析。建筑設(shè)計(jì)要求有精確的數(shù)字比例以達(dá)到完美的效果。

　　(二）確定性數(shù)學(xué)知識的局限

　　作為自然科學(xué)的基礎(chǔ),數(shù)學(xué)知識確實(shí)具有客觀性、準(zhǔn)確性和普遍性。追求確定性數(shù)學(xué)知識本身沒有什么錯(cuò),錯(cuò)在“唯確定性”，即人們過于強(qiáng)調(diào)其確定性,排除了其它的可能性。在教學(xué)中，如果過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的確定性,就會嚴(yán)重限制教師的教和學(xué)生的學(xué)，不利于學(xué)生全面自由的發(fā)展。

　　1.限制了教師教學(xué)的主體性

　　眾所周知,教師是教學(xué)過程的重要主體之一。他之所以成為主體,并不僅僅是說他決定著教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)方法、教學(xué)評價(jià)等,而且還指他是知識的主體。即是說，當(dāng)教師可以在課堂上用自己的方式講述自己的知識時(shí),他才是一個(gè)真正的主體。過度重視確定性數(shù)學(xué)知識,容易使教師形成這樣一種教學(xué)觀:數(shù)學(xué)教學(xué)向?qū)W生演繹、解釋數(shù)學(xué)真理。對于數(shù)學(xué)知識而言，教師沒有權(quán)力和能力去改變，甚至不能有一點(diǎn)不同于書本的理解。在這樣的教學(xué)中，教師雖然講述著數(shù)學(xué)知識，但卻是以他人規(guī)定好的方式講述他人的知識。他不但沒有成為知識的主體,反而被知識奴役。這種教學(xué)對教師來說是痛苦的，因?yàn)樗荒茏灾?沒有激情和創(chuàng)造性,并由此陷入一種惡性循環(huán)：“學(xué)術(shù)生涯使他感到痛苦,他要把同樣的痛苦加諸于學(xué)生一這是對自我本身深感困擾的痛苦”。這樣,教師無法在教學(xué)中進(jìn)行反思和建立自我感,最終使自己與教學(xué)分離。

　　2.窄化了數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容

　　由于數(shù)學(xué)本身被認(rèn)為是確定性知識的典范，同時(shí)加上人們通常認(rèn)為基礎(chǔ)教育的主要任務(wù)是向?qū)W生傳授基礎(chǔ)知識（基礎(chǔ)知識一般是指具有確定結(jié)論的知識），于是確定性的數(shù)學(xué)知識幾乎成了數(shù)學(xué)教學(xué)的唯一內(nèi)容,或者說不確定的數(shù)學(xué)知識僅僅是教學(xué)內(nèi)容的點(diǎn)綴。

　　過度強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的確定性，限定了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。一是將數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容限定為那些確定性的內(nèi)容,不確定性的數(shù)學(xué)知識沒有資格成為數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容,或者說所占比重非常小。二是教師在講授確定性的內(nèi)容時(shí),不敢加以引申，僅僅局限于那個(gè)內(nèi)容。不僅數(shù)學(xué)內(nèi)容的范圍被限制了，內(nèi)容的深度也被限制了。在講授數(shù)學(xué)知識時(shí),教師認(rèn)為數(shù)學(xué)答案就是唯一的，因此很少在課堂上與學(xué)生深度探討數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)知識對于學(xué)生來說,就像是庫存的展品，學(xué)生站在展品面前欣賞,但卻無法觸摸其真正的內(nèi)涵，無法看到知識的多元意義。其實(shí)，對每個(gè)學(xué)生來說，“知識的現(xiàn)實(shí)意義是多元的、多樣的、意義的，實(shí)現(xiàn)方式也是無限的”。

　　3.不利于學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)

　　“創(chuàng)造力是一種產(chǎn)生新穎事物的能力，是一種解決問題的能力，是一種破除傳統(tǒng)的能力。”培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)。新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動,要引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維”。M確定性數(shù)學(xué)知識觀,不僅無益于,反而會阻礙學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

　　由于將數(shù)學(xué)知識當(dāng)作是客觀的、永恒的，因此人們不僅不敢質(zhì)疑它，而且認(rèn)為沒有必要質(zhì)疑它。然而“知識原本是他人對世界的一種看法，把知識當(dāng)作絕對真理意味著承認(rèn)他人看法的唯一合法性而否定了自己看法的必要性和合理性。”13教學(xué)過程中，過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的確定性,會導(dǎo)致學(xué)生被動地“接受”數(shù)學(xué)公式、定理與答案。因此方面學(xué)生不能形成數(shù)學(xué)批判思維能力；另一方面，學(xué)生思想被禁錮，不敢大膽想象,而批判與想象是創(chuàng)造的前提。正如杜威（Dew-ery,J.)所說“教育最大的錯(cuò)誤在于認(rèn)為一個(gè)人只學(xué)習(xí)他當(dāng)時(shí)所學(xué)的特定事物”。