數學知識不確定性的價值及其實現論文

　　20世紀末21世紀初,人類知識觀發生了重大變化：知識不再被認為是“真理”而被當作一個暫時的結論。它有待發展、修訂與完善。正如波普爾（Pop?per,K.)所言：“所有的科學知識，不僅是科學知識,在實質上都是‘猜測性的知識’，都是我們對于某些問題所提出的暫時回答”。換句話說,人們認為知識具有不確定性。由于知識是教育的主要內容，因此知識觀的變化必然帶來教育的變化。本文主要討論數學知識的不確定性及其教學問題。

　　一、數學知識的確定性及其教育局限

　　數學知識具有確定性,其發展也是沿著確定性的道路進行的,但這種確定性是有限度的。超過了這個限度,將不利于數學教育價值的實現。

　　(一)數學知識的確定性及其表征

　　1.數學知識確定性的涵義

　　通常認為，在所有知識中，數學是最確定的。正因為如此，某門學科能否稱為“科學”，關鍵就看其能否被數學化（即能否運用數學的方法來進行研究）。數學成了衡量其它學科能否成為科學的標準。比如，社會學之所以成為一門科學，就在于孔德（Comte,A.)將實證（其中最主要是運用了數學的手段）方法引入了社會學。那什么是數學知識的確定性呢？簡而言之,數學知識的確定性是指數學的知識結論是精確的,而且這一結論是可信的。數學知識的確定性既指數學知識是精確的,也指數學知識是客觀的，還指數學知識是永恒的、超越時空的。

　　2.數學知識確定性的表征

　　(1)數學知識確定性的歷史追溯

　　數學知識自產生起,就沿著確定性的道路向前發展。柏拉圖（Plato)將世界劃分為在的世界和變的世界，數學屬于在的世界，是不變的。在《理想國》第七卷中，他認為數學是科學，強調“科學的真正目的是純粹為了……關于永恒事物的，而不是關于某種有時產生和滅亡的事物的……知識”歐幾里得（Euclid,A.)的《幾何原本》被當作是確定性數學知識的代表作,全書包括23條定義、五條公理和五條公設。歐幾里得認為公設是適用于一切科學的真理，公理是幾何學中的真理，它們都是確定無疑、無須證明的。

　　中世紀,人們認為數學知識是上帝預先設計好的、確定的客觀真理。在《哲學原理》中，笛卡爾（Descartes,R.)認為要使哲學能夠統一所有科學，必須要用數學方法（后來他將這稱為“普遍數學”，“絕不接受我沒有確定為真的東西”。這句名言更是詮釋了他對數學確定性的追求。可以說,在20世紀以前，數學發展的歷史就是追求數學確定性的歷史。

　　(2)數學知識確定性的權威定位

　　歷代的數學權威都認為，數學是不變的真理；甚至認為“自然法則就是數學規則”。柏拉圖認為“只有從理想世界是數學知識來理解現實世界的實在性和可知性,無疑這個世界是數學化的”。在他看來,只有掌握了數學，才能理解這個世界。因此,在柏拉圖學園門口處掛著這樣一個標牌：“不懂幾何學者免進”。他認為，只有精通幾何,才能夠學習其它學科。畢達哥拉斯派甚至提出“萬物皆數”，將音樂、行星運動歸結為數的關系,認為數是萬物的代表,萬物都可歸結到數中。拉普拉斯（Laplace,P.S.)認為“如果一個有理性的人在任何時刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切資料，那么他就能用一個方程式表達宇宙中最龐大的物體和最輕微的原子的運動”，表明在他看來方程式可以表達并解釋宇宙間所有運動，這句話也被當作追求確定性的最高描述，即拉普拉斯方程式。蘭德爾（Randall,J.H.)在《現代思想的形成》中指出“科學起源于用數學解釋自然界這種信念,而且在很久以前這個信念就為經驗證實了”，從中可以看出數學是近代科學形成的前提。由此可知,從古希臘起,確定性數學知識在所有知識中占據權威的地位。

　　(3)數學知識確定性的價值澄明

　　數學知識確定性的表征還表現為，將確定性的數學知識應用到其它學科中去,取得了巨大成就。

　　首先,對確定性數學知識的追求促進天文學、物理學等自然學科的發展。如高斯（Gauss,K.F.)在24歲時運用數學知識觀察小行星谷神星，并預言了這顆行星的軌跡。伽利略（Galileo,G.)運用數學知識來描述和解釋自由落體規律,促進物理力學的發展。牛頓（Newton,I.)受伽利略影響,將數學作為描述自然定理的一個工具,如在解釋萬有引力時,摒棄物理原理而只用數學原理。在《自然哲學的數學原理》一書中，對天文學、物理學和數學等學科知識的證明或求解,也都采取完全數學化的過程，以大量的數學分析為基礎，用微積分和幾何學知識來解釋說明物體運動和宇宙體系,促進了物理學、天文學學科的發展。

　　其次,對確定性數學知識的追求也促進了音樂、哲學、統計學等人文學科和社會學科的發展。公元前600年,畢達哥拉斯學派用數學方法研究琴弦震動，建立了關于音樂的理論。康德（Kant,I.)認為數學是先天的理性真理，對數學真理的追求促進其哲學思想體系的形成‘康德的問題是揭示數學如何能先天被知道,而又能以無可更改的確定性地應用于所有經驗”統計學中定量研究要求對數據進行精確的計算和分析。建筑設計要求有精確的數字比例以達到完美的效果。

　　(二）確定性數學知識的局限

　　作為自然科學的基礎,數學知識確實具有客觀性、準確性和普遍性。追求確定性數學知識本身沒有什么錯,錯在“唯確定性”，即人們過于強調其確定性,排除了其它的可能性。在教學中，如果過于強調數學知識的確定性,就會嚴重限制教師的教和學生的學，不利于學生全面自由的發展。

　　1.限制了教師教學的主體性

　　眾所周知,教師是教學過程的重要主體之一。他之所以成為主體,并不僅僅是說他決定著教學進度、教學方法、教學評價等,而且還指他是知識的主體。即是說，當教師可以在課堂上用自己的方式講述自己的知識時,他才是一個真正的主體。過度重視確定性數學知識,容易使教師形成這樣一種教學觀:數學教學向學生演繹、解釋數學真理。對于數學知識而言，教師沒有權力和能力去改變，甚至不能有一點不同于書本的理解。在這樣的教學中，教師雖然講述著數學知識，但卻是以他人規定好的方式講述他人的知識。他不但沒有成為知識的主體,反而被知識奴役。這種教學對教師來說是痛苦的，因為他不能自主,沒有激情和創造性,并由此陷入一種惡性循環：“學術生涯使他感到痛苦,他要把同樣的痛苦加諸于學生一這是對自我本身深感困擾的痛苦”。這樣,教師無法在教學中進行反思和建立自我感,最終使自己與教學分離。

　　2.窄化了數學教學的內容

　　由于數學本身被認為是確定性知識的典范，同時加上人們通常認為基礎教育的主要任務是向學生傳授基礎知識（基礎知識一般是指具有確定結論的知識），于是確定性的數學知識幾乎成了數學教學的唯一內容,或者說不確定的數學知識僅僅是教學內容的點綴。

　　過度強調數學知識的確定性，限定了數學教學內容。一是將數學教學的內容限定為那些確定性的內容,不確定性的數學知識沒有資格成為數學教學的內容,或者說所占比重非常小。二是教師在講授確定性的內容時,不敢加以引申，僅僅局限于那個內容。不僅數學內容的范圍被限制了，內容的深度也被限制了。在講授數學知識時,教師認為數學答案就是唯一的，因此很少在課堂上與學生深度探討數學問題。數學知識對于學生來說,就像是庫存的展品，學生站在展品面前欣賞,但卻無法觸摸其真正的內涵，無法看到知識的多元意義。其實，對每個學生來說，“知識的現實意義是多元的、多樣的、意義的，實現方式也是無限的”。

　　3.不利于學生創造力的培養

　　“創造力是一種產生新穎事物的能力，是一種解決問題的能力，是一種破除傳統的能力。”培養學生的創造力是數學教育的重要目標。新數學課程標準指出：“數學教學活動,要引發學生的數學思考,鼓勵學生的創造性思維”。M確定性數學知識觀,不僅無益于,反而會阻礙學生創造力的培養。

　　由于將數學知識當作是客觀的、永恒的，因此人們不僅不敢質疑它，而且認為沒有必要質疑它。然而“知識原本是他人對世界的一種看法，把知識當作絕對真理意味著承認他人看法的唯一合法性而否定了自己看法的必要性和合理性。”13教學過程中，過于強調數學知識的確定性,會導致學生被動地“接受”數學公式、定理與答案。因此方面學生不能形成數學批判思維能力；另一方面，學生思想被禁錮，不敢大膽想象,而批判與想象是創造的前提。正如杜威（Dew-ery,J.)所說“教育最大的錯誤在于認為一個人只學習他當時所學的特定事物”。