數(shù)學(xué)的概念和定理比較多，而且比較抽象，數(shù)學(xué)的證明要進(jìn)行邏輯推理，做數(shù)學(xué)題需要掌握概念、定理和方法，這些使得不少學(xué)生感到數(shù)學(xué)比較難學(xué)。通常的數(shù)學(xué)教學(xué)一開始給出數(shù)學(xué)概念的定義，接著寫出有關(guān)的定理，然后對(duì)定理進(jìn)行證明。這種教學(xué)方式可以讓學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)的概念和定理，可以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力。但是學(xué)生不知道概念是怎么提出來的，不知道定理是怎么發(fā)現(xiàn)的，因此培養(yǎng)不出學(xué)生的創(chuàng)新能力。本人根據(jù)四十多年的教學(xué)和科研工作的經(jīng)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)就可以既使數(shù)學(xué)比較好學(xué)，又可以在教學(xué)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

　　數(shù)學(xué)的思維方式是一個(gè)全過程：觀察客觀現(xiàn)象，抓住主要特征，抽象出概念；提出要研究的問題，運(yùn)用“解剖麻雀”、直覺、歸納、類比、聯(lián)想和邏輯推理等進(jìn)行探索，猜測(cè)可能有的規(guī)律；經(jīng)過深入分析，只使用公理、定義和已經(jīng)證明了的定理進(jìn)行邏輯推理來嚴(yán)密論證，揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律，從而使紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序。

　　用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)，我們的主要做法有以下幾點(diǎn)。

　　1.觀察客觀現(xiàn)象自然而然地引出概念，講清楚為什么要引進(jìn)這些概念

　　線性空間的概念是高等代數(shù)中最重要的概念之一。我們讓學(xué)生觀察幾何空間（以定點(diǎn)0為起點(diǎn)的所有向量組成的集合）中有加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且滿足8條運(yùn)算法則；向量的坐標(biāo)是3元有序?qū)崝?shù)組，為了用坐標(biāo)來做向量的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，很自然地在所有3元有序?qū)崝?shù)組組成的集合R3中引進(jìn)加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且也滿足8條運(yùn)算法則。幾何空間是3維空間，時(shí)一空空間是4維空間。有沒有維數(shù)大于4的空間？為了對(duì)數(shù)域K上的n元線性方程組直接從系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒有解和有多少解，從矩陣的初等行變換把線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣可以判斷線性方程組的解的情況受到啟發(fā)，很自然地在所有n元有序數(shù)組組成的集合Kn中引進(jìn)加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且也滿足8條運(yùn)算法則。Kn就是一個(gè)n維空間。我們抓住幾何空間，R3，Kn的共同的主要特征：“有加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且滿足8條運(yùn)算法則”，便自然而然地引出了線性空間的概念。為了使線性空間為數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的研究提供廣闊天地，需要把線性空間的結(jié)構(gòu)搞清楚。

　　幾何空間的結(jié)構(gòu)是，任意取定3個(gè)不共面的向量，空間中任一向量都可以由它們線性表出，并且表示方式唯一。由此受到啟發(fā)，對(duì)于線性空間V，如果有一族向量S使得V中每一個(gè)向量都可以由S中有限多個(gè)向量線性表出，并且S是線性無關(guān)的（這保證了表法唯一），那么稱S是V的一個(gè)基。基是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的第一條途徑。

　　幾何空間中給了過定0的一個(gè)平面和過定點(diǎn)0與n相交的一條直線1。在n上取兩個(gè)不共線的向量dpd2,在1上取一個(gè)非零向量d3，則^丸是幾何空間的一個(gè)基。于是幾何空間的每一個(gè)向量可以唯一地表示成n上的一個(gè)向量與1上的一個(gè)向量的和。由此引出了線性空間V的子空間的直和的概念；猜測(cè)并且證明了線性空間V等于它的若干個(gè)子空間％,…，Vm的直和當(dāng)且僅當(dāng)％的一個(gè)基Vm的一個(gè)基合起來是V的一個(gè)基。直和分解是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的第二條途徑。

　　幾何空間的每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于它在給定的一個(gè)基下的坐標(biāo)是幾何空間到R3的一個(gè)雙射，并且它保持加法和數(shù)量乘法運(yùn)算。由此受到啟發(fā)，引出了線性空間的同構(gòu)的概念；猜測(cè)并且證明了數(shù)域K上的n維線性空間都與Kn同構(gòu)。線性空間的同構(gòu)是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的第三條途徑。

　　幾何空間J中給了過定點(diǎn)0的一個(gè)平面&，則與％平行或重合的所有平面給出了幾何空間J的一個(gè)劃分。由此受到啟發(fā)，數(shù)域K上的線性空間V中，給了一個(gè)子空間W，在V上建立一個(gè)二元關(guān)系：13?a當(dāng)且僅當(dāng)13-aGW。容易證明這是V上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。于是所有等價(jià)類組成的集合就給出了V的一個(gè)劃分，這個(gè)集合也稱為V對(duì)于W的商集，記作V/W。在V/W中可以規(guī)定加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，并且滿足8條運(yùn)算法則，從而V/W成為數(shù)域K上的一個(gè)線性空間，稱它為V對(duì)于W的商空間。幾何空間J中與過定點(diǎn)0的平面&平行或重合的所有平面組成的集合是J對(duì)于A的商空間。過點(diǎn)0作與&相交的一條直線1，則把與&平行或重合的每一個(gè)平面對(duì)應(yīng)于這個(gè)平面與1的交點(diǎn)是商空間J/&到直線1的一個(gè)雙射，并且它保持加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，從而商空間J/&與直線1同構(gòu)。于是

　　dim(J/兀0)=dim1=1=3-2=dimJ-dim兀0.

　　由此受到啟發(fā)，我們猜測(cè)并且證明了對(duì)于數(shù)域K上的n維線性空間V有

　　dim(V/W)=dimV-dimW.

　　這使得我們可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明線性空間中有關(guān)被商空間繼承的性質(zhì)的結(jié)論。

　　在商空間J/&中取一個(gè)基令1是過點(diǎn)0且方向?yàn)閮傻闹本€，則J=7TQ?1。由此受到啟發(fā)，我們猜測(cè)并且證明了對(duì)于數(shù)域K上的線性空間V和它的一個(gè)子空間W，如果商空間V/W有一個(gè)基Pi+W，…，pt+w,令U是由V中的向量組p!,…，pt生成的子空間，那么V=W?U，并且p!,…，pt是U的一個(gè)基。這表明只要商空間V/W是有限維的，并且知道了商空間V/W的一個(gè)基，那么線性空間V就有一個(gè)直和分解式。

　　上述兩方面表明商空間是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的第四條途徑。

　　2.提出要研究的問題，探索并且論證可能有的規(guī)律

　　高等代數(shù)研究的一個(gè)重要問題是對(duì)于域F上n維線性空間V上的線性變換A，能不能找到V的一個(gè)基，使得A在此基下的矩陣具有最簡(jiǎn)單的形式？

　　如果能找到V的一個(gè)基使得線性變換A在此基下的矩陣是對(duì)角矩陣，那么稱A可對(duì)角化。直接計(jì)算可得，A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。由此可得，A可對(duì)角化的充分必要條件是V能分解成A的特征子空間的直和：…?V、，其中,▽&是A的全部不同的特征值。

　　對(duì)于不可對(duì)角化的線性變換A，它的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示是什么樣子？從A的特征子空間的定義受到啟發(fā)，引出A的不變子空間的概念。類比A可對(duì)角化的充分必要條件是V能分解成A的特征子空間的直和，我們?nèi)ヌ剿鳎喝绻鸙能分解成A的不變子空間的直和，那么在每個(gè)不變子空間中取一個(gè)基，它們合起來是V的一個(gè)基，A在此基下的矩陣是一個(gè)分塊對(duì)角矩陣。于是解決A的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示的問題分為兩步。

　　第一步去尋找A的非平凡不變子空間，使得它們的和是直和，并且等于V。利用“如果V上的線性變換B與A可交換，那么B的核KerB是A的不變子空間”這個(gè)結(jié)論，對(duì)于域F上的任意一個(gè)一元多項(xiàng)式f(x)，不定元x用A代入，得到的f(A)與A可交換，從而Kerf(A)是A的不變子空間。fjx)與f2(x)滿足什么條件才能使Kerfi(A)+Kerf2(A)是直和呢？這只要Ker4(八)門Kerf2(A)=0?直覺猜測(cè)若fjx)與f2(x)互素，是否有可能滿足這個(gè)要求？此時(shí)存在u(x),v(x)eFW使得u(x)f2(x)=1。于是不定元X用A代入便得到u(A)_+,講)=1.

　　從而若eeKerfi(A)nKerf2(A)，貝ijP=IP=u(A)fi(A)P+v(A)f2(A)13=0。因此

　　Kerf]_(A)flKerf2(A)=0，從而Ker(A)+Kerf2(A)是直和。這個(gè)和等于什么呢？從上面的恒等變換I的分解式受到啟發(fā)，令任取aGKerf(A),有

　　a=Ia=U(A)fi(A)a+v(A)f2(A)a.

　　令a廣V(A)f2(A)a，a2=u(A)f1(A)a，則a=aa2,JLf1(A)a^=0,f2(A)a2=0。因此Kerf(A)=Kerf^A)?Kerf2(A)。由此受到啟發(fā)，設(shè)fi(x),…，fs(x)eF[x],且它們兩兩互素，令fOOzfJx)…fs(X)，則用數(shù)學(xué)歸納法可以證明Kerf(A)=Kerfx(A)?...?Kerfs(A).

　　由于KerO=V，因此若f(x)使得f(A)=0，貝ljV=Kerfi(A)?…?Kerfs(A).

　　這就把V分解成了A的若干個(gè)非平凡不變子空間的直和。

　　域F上的一個(gè)一元多項(xiàng)式f(；x)如果使得f(A)=0，那么稱f(；x)是A的一個(gè)零化多項(xiàng)式。容易證明域F上的n維線性空間V上的任一線性變換A都有零化多項(xiàng)式。還可以證明線性變換A的特征多項(xiàng)式就是A的一個(gè)零化多項(xiàng)式。事物的臨界狀態(tài)往往決定事物的本質(zhì)。于是我們考慮A的所有非零的零化多項(xiàng)式中次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式m(；A)，稱它為A的最小多項(xiàng)式。如果m(A)在F[A]中的標(biāo)準(zhǔn)分解式為m(2)=(A-Al)k---(A-A^)ls,那么V=Ker(A-I)*i?…?Ker(A-XSI)^.

　　記Wj=Ker((A-XjI)1)，則V=?...?Ws。于是在Wj中取一個(gè)基，j=1,2,…，s,它們合起來是V的一個(gè)基，A在此基下的矩陣A是一個(gè)分塊對(duì)角矩陣AsdiagfAi,…,As}，其中Aj是A在Wj上的限制A|Wj在Wj的上述基下的矩陣。

　　第二步工作是在Wj中找一個(gè)合適的基，使得A|Wj在此基下的矩陣Aj具有最簡(jiǎn)單的形式。由于V=VW?...?Ws，因此可以證明A的最小多項(xiàng)式m(A)是A|Wj的最小多項(xiàng)式mj(A)，j=1,2,…,s，的最小公倍式。利用這個(gè)結(jié)論和唯一因式分解定理可以得出，A|Wj的最小多項(xiàng)式從而A|Wj=XjI+Bj，其中Bj是Wj上的冪零變換，其冪零指數(shù)為lj。于是只要在Wj中找到一個(gè)合適的基使得Bj在此基下的矩陣Bj具有最簡(jiǎn)單的形式，則A|Wj在此基下的矩陣Aj,I+Bj也就最簡(jiǎn)單了。這樣問題歸結(jié)為去研究?jī)缌阕儞Q的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示。

　　設(shè)B是域F上的r維線性空間W上的一個(gè)冪零變換，其冪零指數(shù)為1，用Wo表示B的屬于特征值0的特征子空間。對(duì)于任意aGW且a#0，一定存在正整數(shù)t使得Bta=0，而Bt-ia乒0。于是Bt-ici,Ba,a線性無關(guān)，從而它是子空間的一個(gè)基。我們把稱為B-強(qiáng)循環(huán)子空間，其中Bt_1aeW0。B在上的限制在基Bt_1a,Ba,a下的矩陣是一個(gè)Jordan塊，其主對(duì)角元全為0。我們探索W是否能分解成若干個(gè)B-強(qiáng)循環(huán)子空間的直和？若能夠這樣分解，則由每個(gè)B-強(qiáng)循環(huán)子空間的第一個(gè)基向量組成的向量組線性無關(guān)；又的一個(gè)基中每個(gè)向量都屬于某個(gè)B-強(qiáng)循環(huán)子空間，因此我們猜測(cè)W能分解成dmiWo個(gè)B-強(qiáng)循環(huán)子空間的直和。我們利用商空間對(duì)于研究線性空間的結(jié)構(gòu)的兩個(gè)方面，用數(shù)學(xué)歸納法證明了這個(gè)猜測(cè)是真的。從而在每個(gè)B-強(qiáng)循環(huán)子空間中取上述這樣的基，它們合起來是W的一個(gè)基，B在此基下的矩陣為由若干個(gè)Jordan塊組成的分塊對(duì)角矩陣，稱它為B的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。進(jìn)而得到：域F上的n維線性空間V上的線性變換A如果它的最小多項(xiàng)式m(；入）在F[A]中能分解成一次因式的乘積，那么存在V的一個(gè)基，使得A在此基下的矩陣為由若干個(gè)Jordan塊組成的分塊對(duì)角矩陣，稱它為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。由于主對(duì)角元為的t級(jí)Jordan塊的最小多項(xiàng)式為(X-Xj)1,因此根據(jù)“分塊對(duì)角矩陣A=diag{Al5…,As}的最小多項(xiàng)式m(人）是Aj的最小多項(xiàng)式mj(A)，j=1,2,…，s，的最小公倍式”便得到，如果A有Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J，那么J的最小多項(xiàng)式m(人）是一次因式的乘積，m(A)也是A的最小多項(xiàng)式。從而如果A的最小多項(xiàng)式)在F[A]中的標(biāo)準(zhǔn)分解式有次數(shù)大于1的不可約因式，那么A沒有Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。我們用類比的方法證明了此時(shí)A有有理標(biāo)準(zhǔn)形。這樣我們就徹底解決了域F上n維線性空間V上的線性變換A的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示的問題。