數學的概念和定理比較多，而且比較抽象，數學的證明要進行邏輯推理，做數學題需要掌握概念、定理和方法，這些使得不少學生感到數學比較難學。通常的數學教學一開始給出數學概念的定義，接著寫出有關的定理，然后對定理進行證明。這種教學方式可以讓學生學到數學的概念和定理，可以訓練學生的邏輯推理能力。但是學生不知道概念是怎么提出來的，不知道定理是怎么發現的，因此培養不出學生的創新能力。本人根據四十多年的教學和科研工作的經驗，用數學的思維方式教數學就可以既使數學比較好學，又可以在教學的過程中培養學生的創新能力。

　　數學的思維方式是一個全過程：觀察客觀現象，抓住主要特征，抽象出概念；提出要研究的問題，運用“解剖麻雀”、直覺、歸納、類比、聯想和邏輯推理等進行探索，猜測可能有的規律；經過深入分析，只使用公理、定義和已經證明了的定理進行邏輯推理來嚴密論證，揭示出事物的內在規律，從而使紛繁復雜的現象變得井然有序。

　　用數學的思維方式教數學，我們的主要做法有以下幾點。

　　1.觀察客觀現象自然而然地引出概念，講清楚為什么要引進這些概念

　　線性空間的概念是高等代數中最重要的概念之一。我們讓學生觀察幾何空間（以定點0為起點的所有向量組成的集合）中有加法和數量乘法運算，并且滿足8條運算法則；向量的坐標是3元有序實數組，為了用坐標來做向量的加法和數量乘法運算，很自然地在所有3元有序實數組組成的集合R3中引進加法和數量乘法運算，并且也滿足8條運算法則。幾何空間是3維空間，時一空空間是4維空間。有沒有維數大于4的空間？為了對數域K上的n元線性方程組直接從系數和常數項判斷它有沒有解和有多少解，從矩陣的初等行變換把線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣可以判斷線性方程組的解的情況受到啟發，很自然地在所有n元有序數組組成的集合Kn中引進加法和數量乘法運算，并且也滿足8條運算法則。Kn就是一個n維空間。我們抓住幾何空間，R3，Kn的共同的主要特征：“有加法和數量乘法運算，并且滿足8條運算法則”，便自然而然地引出了線性空間的概念。為了使線性空間為數學、自然科學和社會科學的研究提供廣闊天地，需要把線性空間的結構搞清楚。

　　幾何空間的結構是，任意取定3個不共面的向量，空間中任一向量都可以由它們線性表出，并且表示方式唯一。由此受到啟發，對于線性空間V，如果有一族向量S使得V中每一個向量都可以由S中有限多個向量線性表出，并且S是線性無關的（這保證了表法唯一），那么稱S是V的一個基。基是研究線性空間的結構的第一條途徑。

　　幾何空間中給了過定0的一個平面和過定點0與n相交的一條直線1。在n上取兩個不共線的向量dpd2,在1上取一個非零向量d3，則^丸是幾何空間的一個基。于是幾何空間的每一個向量可以唯一地表示成n上的一個向量與1上的一個向量的和。由此引出了線性空間V的子空間的直和的概念；猜測并且證明了線性空間V等于它的若干個子空間％,…，Vm的直和當且僅當％的一個基Vm的一個基合起來是V的一個基。直和分解是研究線性空間的結構的第二條途徑。

　　幾何空間的每一個向量對應于它在給定的一個基下的坐標是幾何空間到R3的一個雙射，并且它保持加法和數量乘法運算。由此受到啟發，引出了線性空間的同構的概念；猜測并且證明了數域K上的n維線性空間都與Kn同構。線性空間的同構是研究線性空間的結構的第三條途徑。

　　幾何空間J中給了過定點0的一個平面&，則與％平行或重合的所有平面給出了幾何空間J的一個劃分。由此受到啟發，數域K上的線性空間V中，給了一個子空間W，在V上建立一個二元關系：13?a當且僅當13-aGW。容易證明這是V上的一個等價關系。于是所有等價類組成的集合就給出了V的一個劃分，這個集合也稱為V對于W的商集，記作V/W。在V/W中可以規定加法和數量乘法運算，并且滿足8條運算法則，從而V/W成為數域K上的一個線性空間，稱它為V對于W的商空間。幾何空間J中與過定點0的平面&平行或重合的所有平面組成的集合是J對于A的商空間。過點0作與&相交的一條直線1，則把與&平行或重合的每一個平面對應于這個平面與1的交點是商空間J/&到直線1的一個雙射，并且它保持加法和數量乘法運算，從而商空間J/&與直線1同構。于是

　　dim(J/兀0)=dim1=1=3-2=dimJ-dim兀0.

　　由此受到啟發，我們猜測并且證明了對于數域K上的n維線性空間V有

　　dim(V/W)=dimV-dimW.

　　這使得我們可以利用數學歸納法證明線性空間中有關被商空間繼承的性質的結論。

　　在商空間J/&中取一個基令1是過點0且方向為兩的直線，則J=7TQ?1。由此受到啟發，我們猜測并且證明了對于數域K上的線性空間V和它的一個子空間W，如果商空間V/W有一個基Pi+W，…，pt+w,令U是由V中的向量組p!,…，pt生成的子空間，那么V=W?U，并且p!,…，pt是U的一個基。這表明只要商空間V/W是有限維的，并且知道了商空間V/W的一個基，那么線性空間V就有一個直和分解式。

　　上述兩方面表明商空間是研究線性空間的結構的第四條途徑。

　　2.提出要研究的問題，探索并且論證可能有的規律

　　高等代數研究的一個重要問題是對于域F上n維線性空間V上的線性變換A，能不能找到V的一個基，使得A在此基下的矩陣具有最簡單的形式？

　　如果能找到V的一個基使得線性變換A在此基下的矩陣是對角矩陣，那么稱A可對角化。直接計算可得，A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。由此可得，A可對角化的充分必要條件是V能分解成A的特征子空間的直和：…?V、，其中,▽&是A的全部不同的特征值。

　　對于不可對角化的線性變換A，它的最簡單形式的矩陣表示是什么樣子？從A的特征子空間的定義受到啟發，引出A的不變子空間的概念。類比A可對角化的充分必要條件是V能分解成A的特征子空間的直和，我們去探索：如果V能分解成A的不變子空間的直和，那么在每個不變子空間中取一個基，它們合起來是V的一個基，A在此基下的矩陣是一個分塊對角矩陣。于是解決A的最簡單形式的矩陣表示的問題分為兩步。

　　第一步去尋找A的非平凡不變子空間，使得它們的和是直和，并且等于V。利用“如果V上的線性變換B與A可交換，那么B的核KerB是A的不變子空間”這個結論，對于域F上的任意一個一元多項式f(x)，不定元x用A代入，得到的f(A)與A可交換，從而Kerf(A)是A的不變子空間。fjx)與f2(x)滿足什么條件才能使Kerfi(A)+Kerf2(A)是直和呢？這只要Ker4(八)門Kerf2(A)=0?直覺猜測若fjx)與f2(x)互素，是否有可能滿足這個要求？此時存在u(x),v(x)eFW使得u(x)f2(x)=1。于是不定元X用A代入便得到u(A)_+,講)=1.

　　從而若eeKerfi(A)nKerf2(A)，貝ijP=IP=u(A)fi(A)P+v(A)f2(A)13=0。因此

　　Kerf]_(A)flKerf2(A)=0，從而Ker(A)+Kerf2(A)是直和。這個和等于什么呢？從上面的恒等變換I的分解式受到啟發，令任取aGKerf(A),有

　　a=Ia=U(A)fi(A)a+v(A)f2(A)a.

　　令a廣V(A)f2(A)a，a2=u(A)f1(A)a，則a=aa2,JLf1(A)a^=0,f2(A)a2=0。因此Kerf(A)=Kerf^A)?Kerf2(A)。由此受到啟發，設fi(x),…，fs(x)eF[x],且它們兩兩互素，令fOOzfJx)…fs(X)，則用數學歸納法可以證明Kerf(A)=Kerfx(A)?...?Kerfs(A).

　　由于KerO=V，因此若f(x)使得f(A)=0，貝ljV=Kerfi(A)?…?Kerfs(A).

　　這就把V分解成了A的若干個非平凡不變子空間的直和。

　　域F上的一個一元多項式f(；x)如果使得f(A)=0，那么稱f(；x)是A的一個零化多項式。容易證明域F上的n維線性空間V上的任一線性變換A都有零化多項式。還可以證明線性變換A的特征多項式就是A的一個零化多項式。事物的臨界狀態往往決定事物的本質。于是我們考慮A的所有非零的零化多項式中次數最低且首項系數為1的多項式m(；A)，稱它為A的最小多項式。如果m(A)在F[A]中的標準分解式為m(2)=(A-Al)k---(A-A^)ls,那么V=Ker(A-I)*i?…?Ker(A-XSI)^.

　　記Wj=Ker((A-XjI)1)，則V=?...?Ws。于是在Wj中取一個基，j=1,2,…，s,它們合起來是V的一個基，A在此基下的矩陣A是一個分塊對角矩陣AsdiagfAi,…,As}，其中Aj是A在Wj上的限制A|Wj在Wj的上述基下的矩陣。

　　第二步工作是在Wj中找一個合適的基，使得A|Wj在此基下的矩陣Aj具有最簡單的形式。由于V=VW?...?Ws，因此可以證明A的最小多項式m(A)是A|Wj的最小多項式mj(A)，j=1,2,…,s，的最小公倍式。利用這個結論和唯一因式分解定理可以得出，A|Wj的最小多項式從而A|Wj=XjI+Bj，其中Bj是Wj上的冪零變換，其冪零指數為lj。于是只要在Wj中找到一個合適的基使得Bj在此基下的矩陣Bj具有最簡單的形式，則A|Wj在此基下的矩陣Aj,I+Bj也就最簡單了。這樣問題歸結為去研究冪零變換的最簡單形式的矩陣表示。

　　設B是域F上的r維線性空間W上的一個冪零變換，其冪零指數為1，用Wo表示B的屬于特征值0的特征子空間。對于任意aGW且a#0，一定存在正整數t使得Bta=0，而Bt-ia乒0。于是Bt-ici,Ba,a線性無關，從而它是子空間的一個基。我們把稱為B-強循環子空間，其中Bt_1aeW0。B在上的限制在基Bt_1a,Ba,a下的矩陣是一個Jordan塊，其主對角元全為0。我們探索W是否能分解成若干個B-強循環子空間的直和？若能夠這樣分解，則由每個B-強循環子空間的第一個基向量組成的向量組線性無關；又的一個基中每個向量都屬于某個B-強循環子空間，因此我們猜測W能分解成dmiWo個B-強循環子空間的直和。我們利用商空間對于研究線性空間的結構的兩個方面，用數學歸納法證明了這個猜測是真的。從而在每個B-強循環子空間中取上述這樣的基，它們合起來是W的一個基，B在此基下的矩陣為由若干個Jordan塊組成的分塊對角矩陣，稱它為B的Jordan標準形。進而得到：域F上的n維線性空間V上的線性變換A如果它的最小多項式m(；入）在F[A]中能分解成一次因式的乘積，那么存在V的一個基，使得A在此基下的矩陣為由若干個Jordan塊組成的分塊對角矩陣，稱它為A的Jordan標準形。由于主對角元為的t級Jordan塊的最小多項式為(X-Xj)1,因此根據“分塊對角矩陣A=diag{Al5…,As}的最小多項式m(人）是Aj的最小多項式mj(A)，j=1,2,…，s，的最小公倍式”便得到，如果A有Jordan標準形J，那么J的最小多項式m(人）是一次因式的乘積，m(A)也是A的最小多項式。從而如果A的最小多項式)在F[A]中的標準分解式有次數大于1的不可約因式，那么A沒有Jordan標準形。我們用類比的方法證明了此時A有有理標準形。這樣我們就徹底解決了域F上n維線性空間V上的線性變換A的最簡單形式的矩陣表示的問題。