高一數學第三章同步訓練題:函數與方程

　　在中國古代把數學叫算術，又稱算學，最后才改為數學。數學分為兩部分，一部分是幾何，另一部分是代數。小編準備了高一數學上冊第三章同步訓練題，具體請看以下內容。

　　1.設f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函數，且f(-12)f(12)0，則方程f(x)=0在[-1,1]內()

　　A.可能有3個實數根 B.可能有2個實數根

　　C.有唯一的實數根 D.沒有實數根

　　解析：由f -12f 120得f(x)在-12，12內有零點，又f(x)在[-1,1]上為增函數，

　　f(x)在[-1,1]上只有一個零點，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的實根.

　　答案：C

　　2.(2014長沙模擬)已知函數f(x)的圖象是連續不斷的，x、f(x)的對應關系如下表：

　　x123456

　　f(x)136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064

　　則函數f(x)存在零點的區間有

　　()

　　A.區間[1,2]和[2,3]

　　B.區間[2,3]和[3,4]

　　C.區間[2,3]、[3,4]和[4,5]

　　D.區間[3,4]、[4,5]和[5,6]

　　解析：∵f(2)與f(3)，f(3)與f(4)，f(4)與f(5)異號，

　　f(x)在區間[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零點.

　　答案：C

　　3.若a1，設函數f(x)=ax+x-4的零點為m，g(x)=logax+x-4的零點為n，則1m+1n的取值范圍是

　　()

　　A.(3.5，+) B.(1，+)

　　C.(4，+) D.(4.5，+)

　　解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，

　　在同一坐標系中畫出函數y=ax，y=logax，y=-x+4的圖象，結合圖形可知，n+m為直線y=x與y=-x+4的交點的橫坐標的2倍，由y=xy=-x+4，解得x=2，所以n+m=4，因為(n+m)1n+1m=1+1+mn+nm4，又nm，故(n+m)1n+1m4，則1n+1m1.

　　答案：B

　　4.(2014昌平模擬)已知函數f(x)=ln x，則函數g(x)=f(x)-f(x)的零點所在的區間是

　　()

　　A.(0,1) B.(1,2)

　　C.(2,3) D.(3,4)

　　解析：函數f(x)的導數為f(x)=1x，所以g(x)=f(x)-f(x)=ln x-1x.因為g(1)=ln 1-1=-10，g(2)=ln 2-120，所以函數g(x)=f(x)-f(x)的零點所在的區間為(1,2).故選B.

　　答案：B

　　5.已知函數f(x)=2x-1，x0，-x2-2x，x0，若函數g(x)=f(x)-m有3個零點，則實數m的取值范圍是________.

　　解析：畫出f(x)=2x-1，x0，-x2-2x，x0，的'圖象，如圖.由函數g(x)=f(x)-m有3個零點，結合圖象得：0

　　答案：(0,1)

　　6.定義在R上的奇函數f(x)滿足：當x0時，f(x)=2 014x+log2 014x則在R上，函數f(x)零點的個數為________.

　　解析：函數f(x)為R上的奇函數，因此f(0)=0，當x0時，f(x)=2 014x+log2 014x在區間0，12 014內存在一個零點，又f(x)為增函數，因此在(0，+)內有且僅有一個零點.根據對稱性可知函數在(-，0)內有且僅有一解，從而函數在R上的零點的個數為3.

　　答案：3

　　7.已知函數f(x)=x+2x，g(x)=x+ln x，h(x)=x-x-1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是________.

　　解析：令x+2x=0，即2x=-x，設y=2x，y=-x;

　　令x+ln x=0，即ln x=-x，

　　設y=ln x，y=-x.

　　在同一坐標系內畫出y=2x，y=ln x，y=-x，如圖：x10

　　則(x)2-x-1=0，

　　x=1+52，即x3=3+521，所以x1

　　答案：x1

　　8.若函數f(x)=ax2-x-1有且僅有一個零點，求實數a的取值范圍.

　　解：(1)當a=0時，函數f(x)=-x-1為一次函數，則-1是函數的零點，即函數僅有一個零點.

　　(2)當a0時，函數f(x)=ax2-x-1為二次函數，并且僅有一個零點，則一元二次方程ax2-x-1=0有兩個相等實根.則=1+4a=0，解得a=-14.綜上，當a=0或a=-14時，函數僅有一個零點.

　　9.關于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在區間[0,2]上有解，求實數m的取值范圍.

　　解：設f(x)=x2+(m-1)x+1，x[0,2]，

　　①若f(x)=0在區間[0,2]上有一解，

　　∵f(0)=10，則應用f(2)0，

　　又∵f(2)=22+(m-1)2+1，

　　m-32.

　　②若f(x)=0在區間[0,2]上有兩解，

　　則0，0-m-122，f20，

　　m-12-40，-3

　　m3或m-1，-3

　　-32-1.

　　由①②可知m的取值范圍(-，-1].

　　B組 能力突破

　　1.函數f(x)=x-cos x在[0，+)內

　　()

　　A.沒有零點 B.有且僅有一個零點

　　C.有且僅有兩個零點 D.有無窮多個零點

　　解析：在同一直角坐標系中分別作出函數y=x和y=cos x的圖象，如圖，由于x1時，y=x1，y=cos x1，所以兩圖象只有一個交點，即方程x-cos x=0在[0，+)內只有一個根，所以f(x)=x-cos x在[0，+)內只有一個零點，所以選B.

　　答案：B

　　2.(2014吉林白山二模)已知函數f(x)=2mx2-x-1在區間(-2,2)上恰有一個零點，則m的取值范圍是

　　()

　　A.-38，18 B.-38，18

　　C.-38，18 D.-18，38

　　解析：當m=0時，函數f(x)=-x-1有一個零點x=-1，滿足條件.當m0時，函數f(x)=2mx2-x-1在區間(-2,2)上恰有一個零點，需滿足①f(-2)f(2)0，或

　　②f-2=0，-20，或③f2=0，02.

　　解①得-18

　　答案：D

　　3.已知函數f(x)滿足f(x+1)=f(x-1)，且f(x)是偶函數，當x[0,1]時，f(x)=x，若在區間[-1,3]上函數g(x)=f(x)-kx-k有4個零點，則實數k的取值范圍是________.

　　解析：由f(x+1)=f(x-1)得，

　　f(x+2)=f(x)，則f(x)是周期為2的函數.

　　∵f(x)是偶函數，當x[0,1]時，f(x)=x，

　　當x[-1,0]時，f(x)=-x，

　　易得當x[1,2]時，f(x)=-x+2，

　　當x[2,3]時，f(x)=x-2.

　　在區間[-1,3]上函數g(x)=f(x)-kx-k有4個零點，即函數y=f(x)與y=kx+k的圖象在區間[-1,3]上有4個不同的交點.作出函數y=f(x)與y=kx+k的圖象如圖所示，結合圖形易知k0，14].

　　答案：0，14]

　　4.(1)m為何值時，f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且僅有一個零點;②有兩個零點且均比-1大;

　　(2)若函數f(x)=|4x-x2|+a有4個零點，求實數a的取值范圍.

　　解：(1)①函數f(x)有且僅有一個零點方程f(x)=0有兩個相等實根=0，即4m2-4(3m+4)=0，即m2-3m-4=0，m=4或m=-1.

　　②設f(x)有兩個零點分別為x1，x2，

　　則x1+x2=-2m，x1x2=3m+4.

　　由題意，有=4m2-43m+40x1+1x2+10 x1+1+x2+10

　　m2-3m-403m+4-2m+10-2m+2m4或m-1，m-5，m1，

　　-5

　　(2)令f(x)=0，

　　得|4x-x2|+a=0，

　　即|4x-x2|=-a.

　　令g(x)=|4x-x2|，

　　h(x)=-a.

　　作出g(x)、h(x)的圖象.

　　由圖象可知，當04，即-4

　　故a的取值范圍為(-4,0).

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