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等比數列應用題及答案

試題 時間:2021-08-31 手機版

等比數列應用題及答案

  想要在考試中考出理想成績,那么平常的練習就一定要認真去對待。下面是小編整理收集的等比數列應用題及答案,歡迎閱讀!

  一、選擇題

  1.等比數列{an}中,a1=2,q=3,則an等于()

  A.6 B.32n-1

  C.23n-1 D.6n

  答案:C

  2.在等比數列{an}中,若a2=3,a5=24,則數列{an}的通項公式為()

  A.322n B.322n-2

  C.32n-2 D.32n-1

  解析:選C.∵q3=a5a2=243=8,q=2,而a1=a2q=32,an=322n-1=32n-2.

  3.等比數列{an}中,a1+a2=8,a3-a1=16,則a3等于()

  A.20 B.18

  C.10 D.8

  解析:選B.設公比為q(q1),則

  a1+a2=a1(1+q)=8,

  a3-a1=a1(q2-1)=16,

  兩式相除得:1q-1=12,解得q=3.

  又∵a1(1+q)=8,a1=2,

  a3=a1q2=232=18.

  4.(2010年高考江西卷)等比數列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,則an=()

  A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1

  C.(-2)n D.-(-2)n

  解析:選A.∵|a1|=1,

  a1=1或a1=-1.

  ∵a5=-8a2=a2q3,

  q3=-8,q=-2.

  又a5>a2,即a2q3>a2,

  a2<0.

  而a2=a1q=a1(-2)<0,

  a1=1.故an=a1(-2)n-1=(-2)n-1.

  5.下列四個命題中正確的是()

  A.公比q>1的等比數列的'各項都大于1

  B.公比q<0的等比數列是遞減數列

  C.常數列是公比為1的等比數列

  D.{lg2n}是等差數列而不是等比數列

  解析:選D.A錯,a1=-1,q=2,數列各項均負.B錯,a1=1,q=-1,是擺動數列.C錯,常數列中0,0,0,…,不是等比數列.lg2n=nlg2,是首項為lg2,公差為lg2的等差數列,故選D.

  6.等比數列{an}中,a1=18,q=2,則a4與a8的等比中項是()

  A.4 B.4

  C.14 D.14

  解析:選A.由an=182n-1=2n-4知,a4=1,a8=24,其等比中項為4.

  二、填空題

  7.若x,2x+2,3x+3是一個等比數列的連續三項,則x的值為__________.

  解析:由于x,2x+2,3x+3成等比數列,

  2x+2x=3x+32x+2=32且x-1,0.

  2(2x+2)=3x,x=-4. 

  答案:-4

  8.等比數列{an}中,若an+2=an,則公比q=__________;若an=an+3,則公比q=__________.

  解析:∵an+2=an,anq2=an,q=1;

  ∵an=an+3,an=anq3,q=1.

  答案:1 1

  9.等比數列{an}中,a3=3,a10=384,則該數列的通項公式為an=________.

  解析:a3=a1q2=3,a10=a1q9=384.

  兩式相比得q7=128,q=2,a1=34.

  an=a1qn-1=342n-1=32n-3.

  答案:32n-3

  三、解答題

  10.已知數列{an}滿足:lgan=3n+5,求證:{an}是等比數列.

  證明:由lgan=3n+5,得an=103n+5,

  an+1an=103n+1+5103n+5=1000=常數.

  {an}是等比數列.

  11.已知{an}為等比數列,a3=2,a2+a4=203,求{an}的通項公式.

  解:設等比數列{an}的公比為q,

  則q0.a2=a3q=2q,a4=a3q=2q,

  2q+2q=203.解得q1=13,q2=3.

  當q=13時,a1=18,

  an=18(13)n-1=233-n.

  當q=3時,a1=29,

  an=293n-1=23n-3.

  綜上,當q=13時,an=233-n;

  當q=3時,an=23n-3.

  12.一個等比數列的前三項依次是a,2a+2,3a+3,則-1312是否是這個數列中的一項?如果是,是第幾項?如果不是,請說明理由.

  解:∵a,2a+2,3a+3是等比數列的前三項,

  a(3a+3)=(2a+2)2.

  解得a=-1,或a=-4.

  當a=-1時,數列的前三項依次為-1,0,0,

  與等比數列定義矛盾,故a=-1舍去.

  當a=-4時,數列的前三項依次為-4,-6,-9,

  則公比為q=32, an=-4(32)n-1,

  令-4(32)n-1=-1312,

  即(32)n-1=278=(32)3,

  n-1=3,即n=4,

  -1312是這個數列中的第4項.

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