基本不等式專項練習題高中數學
一、選擇題
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()
A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1
C．2x＋2－x D．x(1－x)
答案：C
2．函數y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()
A．32－3 B．－3
C．62 D．62－3
解析：選D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)3(22－1)＝62－3.
3．已知m、nR，mn＝100，則m2＋n2的最小值是()
A．200 B．100
C．50 D．20
解析：選A.m2＋n22mn＝200，當且僅當m＝n時等號成立．
4．給出下面四個推導過程：
①∵a，b(0，＋)，ba＋ab2baab＝2；
②∵x，y(0，＋)，lgx＋lgy2lgxlgy；
③∵aR，a0，4a＋a 24aa＝4；
④∵x，yR，，xy＜0，xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]－2－xy－yx＝－2.
其中正確的推導過程為()
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮．
①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的'條件，故①的推導過程正確；
②雖然x，y(0，＋)，但當x(0,1)時，lgx是負數，y(0,1)時，lgy是負數，②的推導過程是錯誤的；
③∵aR，不符合基本不等式的條件，
4a＋a24aa＝4是錯誤的；
④由xy＜0得xy，yx均為負數，但在推導過程中將全體xy＋yx提出負號后，(－xy)均變為正數，符合基本不等式的條件，故④正確．
5．已知a＞0，b＞0，則1a＋1b＋2ab的最小值是()
A．2 B．22
C．4 D．5
解析：選C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.當且僅當a＝bab＝1時，等號成立，即a＝b＝1時，不等式取得最小值4.
6．已知x、y均為正數，xy＝8x＋2y，則xy有()
A．最大值64 B．最大值164
C．最小值64 D．最小值164
解析：選C.∵x、y均為正數，
xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，
當且僅當8x＝2y時等號成立．
xy64.
二、填空題
7．函數y＝x＋1x＋1(x0)的最小值為________．
答案：1
8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，則xy有最________值，其值為________．
解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.
答案：大 116
9．(2010年高考山東卷)已知x，yR＋，且滿足x3＋y4＝1，則xy的最大值為________．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.
當且僅當x3＝y4時取等號．
答案：3
三、解答題
10．(1)設x＞－1，求函數y＝x＋4x＋1＋6的最小值；
(2)求函數y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.
y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5
2 x＋14x＋1＋5＝9，
當且僅當x＋1＝4x＋1，即x＝1時，取等號．
x＝1時，函數的最小值是9.
(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1
＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.
(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.
當且僅當x－1＝9x－1，即x＝4時等號成立，
y有最小值8.
11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求證：(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.
證明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，
1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，
同理1b－12acb，1c－12abc，
以上三個不等式兩邊分別相乘得
(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.
當且僅當a＝b＝c時取等號．
12．某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計)．
問：污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低．
解：設污水處理池的長為x米，則寬為200x米．
總造價f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200
＝800(x＋225x)＋12000
1600x225x＋12000
＝36000(元)
當且僅當x＝225x(x＞0)，
即x＝15時等號成立．
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