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數學高考一輪復習基本不等式專項練習及答案

試題 時間:2021-08-31 手機版

數學高考一輪復習基本不等式專項練習及答案

  1.若xy0,則對 xy+yx說法正確的是()

  A.有最大值-2 B.有最小值2

  C.無最大值和最小值 D.無法確定

  答案:B

  2.設x,y滿足x+y=40且x,y都是正整數,則xy的最大值是()

  A.400 B.100

  C.40 D.20

  答案:A

  3.已知x2,則當x=____時,x+4x有最小值____.

  答案:2 4

  4.已知f(x)=12x+4x.

  (1)當x0時,求f(x)的最小值;

  (2)當x0 時,求f(x)的最大值.

  解:(1)∵x0,12x,4x0.

  12x+4x212x4x=83.

  當且僅當12x=4x,即x=3時取最小值83,

  當x0時,f(x)的最小值為83.

  (2)∵x0,-x0.

  則-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83,

  當且僅當12-x=-4x時,即x=-3時取等號.

  當x0時,f(x)的最大值為-83.

  一、選擇題

  1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是()

  A.x+12x B.x2-1+1x2-1

  C.2x+2-x D.x(1-x)

  答案:C

  2.函數y=3x2+6x2+1的最小值是()

  A.32-3 B.-3

  C.62 D.62-3

  解析:選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.

  3.已知m、nR,mn=100,則m2+n2的最小值是()

  A.200 B.100

  C.50 D.20

  解析:選A.m2+n22mn=200,當且僅當m=n時等號成立.

  4.給出下面四個推導過程:

  ①∵a,b(0,+),ba+ab2ba

  ②∵x,y(0,+),lgx+lgy2lgx

  ③∵aR,a0,4a+a 24a

  ④∵x,yR,,xy0,xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.

  其中正確的推導過程為()

  A.①② B.②③

  C.③④ D.①④

  解析:選D.從基本不等式成立的條件考慮.

  ①∵a,b(0,+),ba,ab(0,+),符合基本不等式的條件,故①的推導過程正確;

  ②雖然x,y(0,+),但當x(0,1)時,lgx是負數,y(0,1)時,lgy是負數,②的推導過程是錯誤的';

  ③∵aR,不符合基本不等式的條件,

  4a+a24aa=4是錯誤的;

  ④由xy0得xy,yx均為負數,但在推導過程中將全體xy+yx提出負號后,(-xy)均變為正數,符合基本不等式的條件,故④正確.

  5.已知a0,b0,則1a+1b+2ab的最小值是()

  A.2 B.22

  C.4 D.5

  解析:選C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.當且僅當a=bab=1時,等號成立,即a=b=1時,不等式取得最小值4.

  6.已知x、y均為正數,xy=8x+2y,則xy有()

  A.最大值64 B.最大值164

  C.最小值64 D.最小值164

  解析:選C.∵x、y均為正數,

  xy=8x+2y28x2y=8xy,

  當且僅當8x=2y時等號成立.

  xy64.

  二、填空題

  7.函數y=x+1x+1(x0)的最小值為________.

  答案:1

  8.若x0,y0,且x+4y=1,則xy有最________值,其值為________.

  解析:1=x+4y4y=4xy,xy116.

  答案:大 116

  9.(2010年高考山東卷)已知x,yR+,且滿足x3+y4=1,則xy的最大值為________.

  解析:∵x0,y0且1=x3+y42xy12,xy3.

  當且僅當x3=y4時取等號.

  答案:3

  三、解答題

  10.(1)設x-1,求函數y=x+4x+1+6的最小值;

  (2)求函數y=x2+8x-1(x1)的最值.

  解:(1)∵x-1,x+10.

  y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

  2 x+14x+1+5=9,

  當且僅當x+1=4x+1,即x=1時,取等號.

  x=1時,函數的最小值是9.

  (2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

  =(x-1)+9x-1+2.∵x1,x-10.

  (x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.

  當且僅當x-1=9x-1,即x=4時等號成立,

  y有最小值8.

  11.已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求證:(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

  證明:∵a,b,c(0,+),a+b+c=1,

  1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca,

  同理1b-12acb,1c-12abc,

  以上三個不等式兩邊分別相乘得

  (1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

  當且僅當a=b=c時取等號.

  12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造單價為每米400元,中間一條隔壁建造單價為每米100元,池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計).

  問:污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低.

  解:設污水處理池的長為x米,則寬為200x米.

  總造價f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200

  =800(x+225x)+12000

  1600x225x+12000

  =36000(元)

  當且僅當x=225x(x0),

  即x=15時等號成立.

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