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第十屆華杯賽總決賽試題及解答

試題 時間:2021-08-31 手機版

第十屆華杯賽總決賽試題及解答

  一、填空(共3題,每題10分)

  1.1000米賽跑,已知甲到達終點時,乙離終點50米;乙到達終點時,丙離終點100米。那么甲到達終點時,丙離終點___米。

  2.三個相鄰奇數的積為一個五位數2***3,這三個奇數中最小的是___。

  3.將兩個不同的自然數中較大的數換成這兩個數的差,稱為一次操作,如對18和42可連續進行這樣的操作。則有:18,42→18,24→18,6→12,6→6,6,直到兩數相同為止。試給出和最小的兩個五位數,按照以上操作,最后得到的相同的數是15,這兩個五位數是___與___。

  二、解答題(共3題,每題10分,寫出簡要解答過程)

  4.右圖中,ABCD是邊長為1的正方形,A,E,F,G,H分別是四條邊AB,BC,CD,DA的中點,計算圖中紅色八邊形的面積。

  5.若干名小朋友購買單價為3元和5元的兩種商品,每人至少買一件,但每人購買的商品的總金額不得超過15元。小民說:小朋友中一定至少有三人購買的兩種商品的數量完全相同。問:至少有多少名小朋友?

  6.A是山腳,B是山頂,C是山坡上的一點,。甲、乙同時從山腳出發,到達山頂,再返回山腳,如此往返運動。甲、乙速度之比為6∶5,并且甲乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍.出發一段時間后,甲第一次在山頂上看見乙在AC段向上爬;又經過一段時間后,甲第二次在山頂上看見乙在AC段向上爬。問:當甲第二次在山頂上看到乙在AC段上爬時(包括此時),甲到過山頂幾次?

  參考答案

  一、填空

  1.145 2.27 3.10005與10020

  二、解答題

  4.紅色八邊形的面積是1/6

  5.至少有25名小朋友6.甲到過山頂9次

  1.【解】甲跑1000米,乙跑了950米,乙跑1000米,丙跑900米,

  所以甲跑1000米時,丙跑了950×900/1000=855(米),丙距終點1000-855=145(米).

  2.【解】設中間數為n則(n-2)×n×(n+2)=2***3,又知(n-2)×(n+2)<,而=19683,所以,n應大于27,而7×9×1=63,故最小數應為27,27×29×31=24273,符合題意,并且是唯一解.

  3.【解】能被15整除的最小5位數是10005,10005+15=10020,按照題目所給的操作,只需將這兩個五位數取為10005和10020,則經過1次操作,較小的數變為15,較大的.數變為10005,再經若干此次操作,較小的數一直不變,較大的數每次減少15,直到較大的數變為30,再經一次操作兩個數都變成了15.

  4.【解】如圖,易知藍邊正方形面積為,△ABD面積為,△BCD面積為,

  所以△ABC面積為-=,可證AE∶EB=1∶4,

  黃色三角形面積為△ABC的,等于,由此可得,所求八邊形的面積是:1/6.

  至此,我們對各部分的面積都已計算出來,如下圖所示.

  【又解】設O為正方形中心(對角線交點),連接OE、OF,分別與AF、BG交于M、N,設AF與EC的交點為P,連接OP,△MOF的面積為正方形面積的,N為OF中點,△OPN面積等于△FPN面積,又△OPN面積與△OPM面積相等,所以△OPN面積為△MOF面積的,為正方形面積的,八邊形面積等于△OPM面積的8倍,為正方形面積的1/6.

  5.【解】不超過15元可購買商品的方法有:

  共12種方法,所以如果有25人,必然會有3人購買的商品完全相同.

  答:至少有25名小朋友.

  6.【解】不妨設想為在一條直線上的運動,將上山的路程看作下山路程的1.5倍,并設AC=1,則CB=2,下山路程=2,將上山、下山一個全程看作5,重復在一條直線上進行.如下圖:

  B點表示山頂,甲到達山頂所走的路程可以表示為:5×n-2(其中n為整數,表示到達山頂的次數),此時乙所走的路程為(5×n-2)×,乙處于的位置為(5×n-2)×÷5=(5×n-2)÷6的余數,設此余數為k,當0

  n123456789

  k321054321

  即當甲第二次在山頂上看到乙在AC段上爬時(包括此時),甲到過山頂9次.

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