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華杯賽的試題及解答

試題 時間:2021-08-31 手機版

華杯賽的試題及解答

  試題:

  1.計算:2.00×2.0

  (結果用最簡分數表示)

  2.水池裝有一個水管和若干每小時注水量相同的注水管,注水管注水時,排水管同時排水.若用12個注水管注水,8小時可注滿水池;若用9個注水管注水,24小時可注滿水池.現在用8個注水管注水,那么需要多少小時注滿水池?

  3.在操場上做游戲,上午8:00從A地出發,勻速地行走,每走5分鐘就折轉90o。問:

  (1)上午9:20能否恰好回到原處?

  (2)上午9:10能否恰好回到原處?

  如果能,請說明理由,并設計一條路線.如果不能,請說明理由。

  4.1到100所有自然數中與100互質各數之和是多少?

  5.老王和老張各有5角和8角的郵票若干張,沒有其它面值的郵票,但是他們郵票的總張數一樣多.老王的5角郵票的張數與8角郵票張數相同,老張的5角郵票的金額等于8角郵票的金額.用他們的郵票共同支付110元的郵資足夠有余,但不夠支付160元的郵資.問他們各有8角郵票多少張?

  6.在下面一列數中,從第二個數開始,每個數都比它前面相鄰的數大7,8,15,22,29,36,43,……。

  它們前n-1個數相乘的積的末尾0的個數比前n個數相乘的積的'末尾0的個數少3個,求n的最小值.

  解答:

  1.答:2.00×2.0

  原式=

  2.解:設單開水管需x小時將滿池水排完,單開一個注水管需要y小時,則可知排水管每小時排整池水的,

  注水管每小時注水,可知有

  即為……………………………①

  同時由2小時用9個注水管注滿水知

  即為……………………………②

  將①-②得可知

  代入①中得

  所以用8個注水管注水每小時注水

  故需用時(小時)

  答:用8個注水管注水,需要72小時注滿水池.

  3.答:(1)上午9:20分恰好回到原地.我們可以設計如下的路線:我們若沒定每走5分鐘都按順時針方向(或逆時針方向)折轉90°,則可知每過20分鐘回到原處,而到9:20恰好過了80分鐘,故可知9:20恰好第4次回原處.

  (2)上午9:10不能回到原地.因為到上午9:10共走了70分鐘,而我們可以驗證不管每一步為逆時針折轉90°,還是順時針折轉90°都不能在70分鐘內回原地.

  4.解:我們可以先去考慮到100的所有自然數中與100不可質的數,因為100=2×2×5×5,故1到100中所有含因子2或5的數都與100不互質.其中含因子2的有2,4,6,8…,100(即為50個數),含因子5的有5,10,15,20…,100但其中10,20,30,…100已經包括在上面內,故與100不互質的1到100之內的數為:2,4,6,…100,5,15,25,…95。

  這些數的和為:2+4+6+…+100+5+15+25+…+95=

  而1到100的自然而然數和為:

  所以與100互質的自然數之和為:5050-3050=2000。

  答:1到100所有自然數中與100互質各數之和為2000.

  5.解:設老王有8角郵票x張,老張有8角郵票y張,可知老王的5角郵票也有x張,故該總張數為2x張,則老張的5角郵票為張.

  由老張5角郵票金額等于8角郵票金額知

  即為……………………………①

  又由他們可共同支付110元到160元之間的郵資知

  ……………………………②

  將①代入②中得

  同時又由為整數知x為13的整數

  結合上述兩個條件知,又由①知

  答:老王共有52張8角郵票,老張有40張8角郵票。

  6.解:觀察這列數可知每個數除以7余數為1,由題意知若使n最小,則第n個數必須含有3個5的因子,這樣由5的因子數少于2因子數知前n個相乘方會比前n-1個多3個0。所以第n個數可寫成的形式,即為(k為自然數)且125k除以7余數為1,這樣最小的k值為6。即第n個數為.此時再根據第n個數又可表示為知可得

  答:n的最小值為107。

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