一、選擇題

　　1．已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，下列命題中，正確的是()

　　A．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)

　　B．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值

　　C．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值

　　D．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值

　　[答案] C

　　[解析] 導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如f(x)＝x3，f(x)＝3x2，f(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點(diǎn)，故A錯(cuò)；由極值的定義可知C正確，故應(yīng)選C.

　　2．函數(shù)y＝1＋3x－x3有()

　　A．極小值－2，極大值2

　　B．極小值－2，極大值3

　　C．極小值－1，極大值1

　　D．極小值－1，極大值3

　　[答案] D

　　[解析] y＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)

　　令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1

　　當(dāng)x－1時(shí)，y0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)，

　　當(dāng)－11時(shí)，y0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是增函數(shù)，

　　當(dāng)x1時(shí)，y0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)，

　　當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極小值，y極小＝－1.

　　當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極大值，y極大＝3.

　　3．設(shè)x0為f(x)的極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

　　A．必有f(x0)＝0

　　B．f(x0)不存在

　　C．f(x0)＝0或f(x0)不存在

　　D．f(x0)存在但可能不為0

　　[答案] C

　　[解析] 如：y＝|x|，在x＝0時(shí)取得極小值，但f(0)不存在．

　　4．對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，有一點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)是這一點(diǎn)為極值的()

　　A．充分不必要條件

　　B．必要不充分條件

　　C．充要條件

　　D．既不充分也不必要條件

　　[答案] C

　　[解析] 只有這一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為0，且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào)才是充要條件．

　　5．對(duì)于函數(shù)f(x)＝x3－3x2，給出命題：

　?、賔(x)是增函數(shù)，無(wú)極值；

　　②f(x)是減函數(shù)，無(wú)極值；

　?、踗(x)的遞增區(qū)間為(－，0)，(2，＋)，遞減區(qū)間為(0,2)；

　?、躥(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值．

　　其中正確的命題有()

　　A．1個(gè) B．2個(gè)

　　C．3個(gè) D．4個(gè)

　　[答案] B

　　[解析] f(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得02，①②錯(cuò)誤．

　　6．函數(shù)f(x)＝x＋1x的極值情況是()

　　A．當(dāng)x＝1時(shí)，極小值為2，但無(wú)極大值

　　B．當(dāng)x＝－1時(shí)，極大值為－2，但無(wú)極小值

　　C．當(dāng)x＝－1時(shí)，極小值為－2；當(dāng)x＝1時(shí)，極大值為2

　　D．當(dāng)x＝－1時(shí)，極大值為－2；當(dāng)x＝1時(shí)，極小值為2

　　[答案] D

　　[解析] f(x)＝1－1x2，令f(x)＝0，得x＝1，

　　函數(shù)f(x)在區(qū)間(－，－1)和(1，＋)上單調(diào)遞增，在(－1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，

　　當(dāng)x＝－1時(shí)，取極大值－2，當(dāng)x＝1時(shí)，取極小值2.

　　7．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()

　　A．1個(gè) B．2個(gè)

　　C．3個(gè) D．4個(gè)

　　[答案] A

　　[解析] 由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，先增，再減，再增，最后再減，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)．

　　8．已知函數(shù)y＝x－ln(1＋x2)，則函數(shù)y的極值情況是()

　　A．有極小值

　　B．有極大值

　　C．既有極大值又有極小值

　　D．無(wú)極值

　　[答案] D

　　[解析] ∵y＝1－11＋x2(x2＋1)

　　＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1

　　令y＝0得x＝1，當(dāng)x1時(shí)，y0，

　　當(dāng)x1時(shí)，y0，

　　函數(shù)無(wú)極值，故應(yīng)選D.

　　9．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極值是()

　　A．極大值為427，極小值為0

　　B．極大值為0，極小值為427

　　C．極大值為0，極小值為－427

　　D．極大值為－427，極小值為0

　　[答案] A

　　[解析] 由題意得，f(1)＝0，p＋q＝1①

　　f(1)＝0，2p＋q＝3②

　　由①②得p＝2，q＝－1.

　　f(x)＝x3－2x2＋x，f(x)＝3x2－4x＋1

　?。?3x－1)(x－1)，

　　令f(x)＝0，得x＝13或x＝1，極大值f13＝427，極小值f(1)＝0.

　　10．下列函數(shù)中，x＝0是極值點(diǎn)的是()

　　A．y＝－x3 B．y＝cos2x

　　C．y＝tanx－x D．y＝1x

　　[答案] B

　　[解析] y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，

　　x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右負(fù)，

　　x＝0是函數(shù)的極大值點(diǎn)．

　　二、填空題

　　11．函數(shù)y＝2xx2＋1的極大值為_(kāi)_____，極小值為_(kāi)_____．

　　[答案] 1－1

　　[解析] y＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，

　　令y0得－11，令y0得x1或x－1，

　　當(dāng)x＝－1時(shí)，取極小值－1，當(dāng)x＝1時(shí)，取極大值1.

　　12．函數(shù)y＝x3－6x＋a的極大值為_(kāi)___________，極小值為_(kāi)___________．

　　[答案] a＋42 a－42

　　[解析] y＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，

　　令y0，得x2或x－2，

　　令y0，得－22，

　　當(dāng)x＝－2時(shí)取極大值a＋42，

　　當(dāng)x＝2時(shí)取極小值a－42.

　　13．已知函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1處有極大值，在x＝3處有極小值，則a＝______，b＝________.

　　[答案] －3－9

　　[解析] y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韋達(dá)定理應(yīng)有

　　14．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．

　　[答案] (－2,2)

　　[解析] 令f(x)＝3x2－3＝0得x＝1，

　　可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，

　　y＝f(x)的大致圖象如圖

　　觀察圖象得－22時(shí)恰有三個(gè)不同的.公共點(diǎn)．

　　三、解答題

　　15．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋11.

　　(1)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間；

　　(2)討論函數(shù)f(x)的極大值或極小值，如有試寫(xiě)出極值．

　　[解析] f(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，

　　令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.

　　x變化時(shí)，f(x)的符號(hào)變化情況及f(x)的增減性如下表所示：

　　x (－，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋)

　　f(x) ＋ 0 － 0 ＋

　　f(x) 增 極大值

　　f(－1) 減 極小值

　　f(3) 增

　　(1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(－1,3)；

　　(2)由表可得，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極大值為f(－1)＝16；當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)有極小值為f(3)＝－16.

　　16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1處有極值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相應(yīng)的極值．

　　[解析] f(x)＝3ax2＋2bx＋c.

　　∵x＝1是函數(shù)的極值點(diǎn)，－1、1是方程f(x)＝0的根，即有

　　又f(1)＝－1，則有a＋b＋c＝－1，

　　此時(shí)函數(shù)的表達(dá)式為f(x)＝12x3－32x.

　　f(x)＝32x2－32.

　　令f(x)＝0，得x＝1.

　　當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)變化情況如下表：

　　x (－，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋)

　　f(x) ＋ 0 － 0 ＋

　　f(x) ? 極大

　　值1 ? 極小

　　值－1 ?

　　由上表可以看出，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極大值1；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極小值－1.

　　17．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝1處取得極值．

　　(1)討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；

　　(2)過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程．

　　[解析] (1)f(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，

　　f(1)＝f(－1)＝0，即

　　解得a＝1，b＝0.

　　f(x)＝x3－3x，

　　f(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．

　　令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.

　　若x(－，－1)(1，＋)，則f(x)＞0，故

　　f(x)在(－，－1)上是增函數(shù)，

　　f(x)在(1，＋)上是增函數(shù)．

　　若x(－1,1)，則f(x)＜0，故

　　f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)．

　　f(－1)＝2是極大值；f(1)＝－2是極小值．

　　(2)曲線方程為y＝x3－3x.點(diǎn)A(0,16)不在曲線上．

　　設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0＝x30－3x0.

　　∵f(x0)＝3(x20－1)，故切線的方程為

　　y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．

　　注意到點(diǎn)A(0,16)在切線上，有

　　16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．

　　化簡(jiǎn)得x30＝－8，解得x0＝－2.

　　切點(diǎn)為M(－2，－2)，

　　切線方程為9x－y＋16＝0.

　　18．(2010北京文，18)設(shè)函數(shù)f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f(x)－9x＝0的兩個(gè)根分別為1,4.

　　(1)當(dāng)a＝3且曲線y＝f(x)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求f(x)的解析式；

　　(2)若f(x)在(－，＋)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

　　[解析] 本題考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用．

　　由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f(x)＝ax2＋2bx＋c

　　∵f(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根為1,4.

　　(1)當(dāng)a＝3時(shí)，由(*)式得 ，

　　解得b＝－3，c＝12.

　　又∵曲線y＝f(x)過(guò)原點(diǎn)，d＝0.

　　故f(x)＝x3－3x2＋12x.

　　(2)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－，＋)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)”等價(jià)于“f(x)＝ax2＋2bx＋c0在(－，＋)內(nèi)恒成立”

　　由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.

　　又∵＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)

　　解 得a[1,9]，

　　即a的取值范圍[1,9]．

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