一、選擇題

　　1．已知函數f(x)在點x0處連續，下列命題中，正確的是()

　　A．導數為零的點一定是極值點

　　B．如果在點x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極小值

　　C．如果在點x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極大值

　　D．如果在點x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極大值

　　[答案] C

　　[解析] 導數為0的點不一定是極值點，例如f(x)＝x3，f(x)＝3x2，f(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點，故A錯；由極值的定義可知C正確，故應選C.

　　2．函數y＝1＋3x－x3有()

　　A．極小值－2，極大值2

　　B．極小值－2，極大值3

　　C．極小值－1，極大值1

　　D．極小值－1，極大值3

　　[答案] D

　　[解析] y＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)

　　令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1

　　當x－1時，y0，函數y＝1＋3x－x3是減函數，

　　當－11時，y0，函數y＝1＋3x－x3是增函數，

　　當x1時，y0，函數y＝1＋3x－x3是減函數，

　　當x＝－1時，函數有極小值，y極小＝－1.

　　當x＝1時，函數有極大值，y極大＝3.

　　3．設x0為f(x)的極值點，則下列說法正確的是()

　　A．必有f(x0)＝0

　　B．f(x0)不存在

　　C．f(x0)＝0或f(x0)不存在

　　D．f(x0)存在但可能不為0

　　[答案] C

　　[解析] 如：y＝|x|，在x＝0時取得極小值，但f(0)不存在．

　　4．對于可導函數，有一點兩側的導數值異號是這一點為極值的()

　　A．充分不必要條件

　　B．必要不充分條件

　　C．充要條件

　　D．既不充分也不必要條件

　　[答案] C

　　[解析] 只有這一點導數值為0，且兩側導數值異號才是充要條件．

　　5．對于函數f(x)＝x3－3x2，給出命題：

　　①f(x)是增函數，無極值；

　　②f(x)是減函數，無極值；

　　③f(x)的遞增區間為(－，0)，(2，＋)，遞減區間為(0,2)；

　　④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值．

　　其中正確的命題有()

　　A．1個 B．2個

　　C．3個 D．4個

　　[答案] B

　　[解析] f(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得02，①②錯誤．

　　6．函數f(x)＝x＋1x的極值情況是()

　　A．當x＝1時，極小值為2，但無極大值

　　B．當x＝－1時，極大值為－2，但無極小值

　　C．當x＝－1時，極小值為－2；當x＝1時，極大值為2

　　D．當x＝－1時，極大值為－2；當x＝1時，極小值為2

　　[答案] D

　　[解析] f(x)＝1－1x2，令f(x)＝0，得x＝1，

　　函數f(x)在區間(－，－1)和(1，＋)上單調遞增，在(－1,0)和(0,1)上單調遞減，

　　當x＝－1時，取極大值－2，當x＝1時，取極小值2.

　　7．函數f(x)的定義域為開區間(a，b)，導函數f(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區間(a，b)內有極小值點()

　　A．1個 B．2個

　　C．3個 D．4個

　　[答案] A

　　[解析] 由f(x)的圖象可知，函數f(x)在區間(a，b)內，先增，再減，再增，最后再減，故函數f(x)在區間(a，b)內只有一個極小值點．

　　8．已知函數y＝x－ln(1＋x2)，則函數y的極值情況是()

　　A．有極小值

　　B．有極大值

　　C．既有極大值又有極小值

　　D．無極值

　　[答案] D

　　[解析] ∵y＝1－11＋x2(x2＋1)

　　＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1

　　令y＝0得x＝1，當x1時，y0，

　　當x1時，y0，

　　函數無極值，故應選D.

　　9．已知函數f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則函數f(x)的極值是()

　　A．極大值為427，極小值為0

　　B．極大值為0，極小值為427

　　C．極大值為0，極小值為－427

　　D．極大值為－427，極小值為0

　　[答案] A

　　[解析] 由題意得，f(1)＝0，p＋q＝1①

　　f(1)＝0，2p＋q＝3②

　　由①②得p＝2，q＝－1.

　　f(x)＝x3－2x2＋x，f(x)＝3x2－4x＋1

　　＝(3x－1)(x－1)，

　　令f(x)＝0，得x＝13或x＝1，極大值f13＝427，極小值f(1)＝0.

　　10．下列函數中，x＝0是極值點的是()

　　A．y＝－x3 B．y＝cos2x

　　C．y＝tanx－x D．y＝1x

　　[答案] B

　　[解析] y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，

　　x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右負，

　　x＝0是函數的極大值點．

　　二、填空題

　　11．函數y＝2xx2＋1的極大值為______，極小值為______．

　　[答案] 1 －1

　　[解析] y＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，

　　令y0得－11，令y0得x1或x－1，

　　當x＝－1時，取極小值－1，當x＝1時，取極大值1.

　　12．函數y＝x3－6x＋a的極大值為____________，極小值為____________．

　　[答案] a＋42 a－42

　　[解析] y＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，

　　令y0，得x2或x－2，

　　令y0，得－22，

　　當x＝－2時取極大值a＋42，

　　當x＝2時取極小值a－42.

　　13．已知函數y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1處有極大值，在x＝3處有極小值，則a＝______，b＝________.

　　[答案] －3 －9

　　[解析] y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韋達定理應有

　　14．已知函數f(x)＝x3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個公共點，則a的取值范圍是________．

　　[答案] (－2,2)

　　[解析] 令f(x)＝3x2－3＝0得x＝1，

　　可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，

　　y＝f(x)的大致圖象如圖

　　觀察圖象得－22時恰有三個不同的公共點．

　　三、解答題

　　15．已知函數f(x)＝x3－3x2－9x＋11.

　　(1)寫出函數f(x)的遞減區間；

　　(2)討論函數f(x)的極大值或極小值，如有試寫出極值．

　　[解析] f(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，

　　令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.

　　x變化時，f(x)的符號變化情況及f(x)的`增減性如下表所示：

　　x (－，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋)

　　f(x) ＋ 0 － 0 ＋

　　f(x) 增 極大值

　　f(－1) 減 極小值

　　f(3) 增

　　(1)由表可得函數的遞減區間為(－1,3)；

　　(2)由表可得，當x＝－1時，函數有極大值為f(－1)＝16；當x＝3時，函數有極小值為f(3)＝－16.

　　16．設函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1處有極值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相應的極值．

　　[解析] f(x)＝3ax2＋2bx＋c.

　　∵x＝1是函數的極值點，－1、1是方程f(x)＝0的根，即有

　　又f(1)＝－1，則有a＋b＋c＝－1，

　　此時函數的表達式為f(x)＝12x3－32x.

　　f(x)＝32x2－32.

　　令f(x)＝0，得x＝1.

　　當x變化時，f(x)，f(x)變化情況如下表：

　　x (－，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋)

　　f(x) ＋ 0 － 0 ＋

　　f(x) ? 極大

　　值1 ? 極小

　　值－1 ?

　　由上表可以看出，當x＝－1時，函數有極大值1；當x＝1時，函數有極小值－1.

　　17．已知函數f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝1處取得極值．

　　(1)討論f(1)和f(－1)是函數f(x)的極大值還是極小值；

　　(2)過點A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程．

　　[解析] (1)f(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，

　　f(1)＝f(－1)＝0，即

　　解得a＝1，b＝0.

　　f(x)＝x3－3x，

　　f(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．

　　令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.

　　若x(－，－1)(1，＋)，則f(x)＞0，故

　　f(x)在(－，－1)上是增函數，

　　f(x)在(1，＋)上是增函數．

　　若x(－1,1)，則f(x)＜0，故

　　f(x)在(－1,1)上是減函數．

　　f(－1)＝2是極大值；f(1)＝－2是極小值．

　　(2)曲線方程為y＝x3－3x.點A(0,16)不在曲線上．

　　設切點為M(x0，y0)，則點M的坐標滿足y0＝x30－3x0.

　　∵f(x0)＝3(x20－1)，故切線的方程為

　　y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．

　　注意到點A(0,16)在切線上，有

　　16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．

　　化簡得x30＝－8，解得x0＝－2.

　　切點為M(－2，－2)，

　　切線方程為9x－y＋16＝0.

　　18．(2010北京文，18)設函數f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f(x)－9x＝0的兩個根分別為1,4.

　　(1)當a＝3且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的解析式；

　　(2)若f(x)在(－，＋)內無極值點，求a的取值范圍．

　　[解析] 本題考查了函數與導函數的綜合應用．

　　由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f(x)＝ax2＋2bx＋c

　　∵f(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根為1,4.

　　(1)當a＝3時，由(*)式得 ，

　　解得b＝－3，c＝12.

　　又∵曲線y＝f(x)過原點，d＝0.

　　故f(x)＝x3－3x2＋12x.

　　(2)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－，＋)內無極值點”等價于“f (x)＝ax2＋2bx＋c0在(－，＋)內恒成立”

　　由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.

　　又∵＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)

　　解 得a[1,9]，

　　即a的取值范圍[1,9]．

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