切線的判定定理教案

教案時間：2021-08-31 手機版

切線的判定定理教案

　　【內容概述】

　　證明圓的切線是近幾年中考常見的數學問題之一。最常用的是利用“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”證明。

　　本內容通過動手操作得出切線的判定定理，再利用解決兩道例題，總結歸納出兩種具體的證法：

　　①當直線與圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連結起來，證明直線垂直于這條半徑，簡稱為“連半徑，證垂直”；

　　②當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱為“作垂直，證半徑”。

　　歸納總結后，馬上給予兩道對應練習題鞏固理解兩種證明方法。

　　【教學重難點】

　　理解切線的判定方法，能選擇正確的方法證明一條直線是圓的切線。

　　【教學目標】

　　掌握判斷圓的切線的方法，并靈活解題。進一步培養使用“分類”與“歸納”等思想方法的能力。

　　【教學過程】

　　一、復習引入

　　平面內直線和圓存在著三種位置關系，即直線和圓相離、直線和圓相切、直線和圓相交，這三種位置關系中最重要的是直線和圓相切。那么怎樣證明直線和圓相切呢？怎樣判定一條直線是圓的切線？

　　⑴和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；（定義）

　　⑵到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（d=r）

　　除了這兩種方法，還有沒有其他方法判定一條直線是圓的切線呢?

　　活動一：在練習本上畫一個圓O,做一個半徑OA,做一條直線L,使L經過點A且垂直于OA。這樣的直線能畫幾條？這條直線和圓是什么位置關系？為什么？你得到了什么結論？

　　切線判定定理：經過直徑的一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

　　活動二：分析定理。經過直徑的一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

　　這個定理有什么用？證明一條直線是圓的切線，那根據這個判定定理，要證明一條直線是圓的切線，需要幾個條件？分別是什么？

　　對定理的理解：①經過半徑外端. ②垂直于這條半徑。

　　定理中的兩個條件缺一不可。

　　二、典型例題

　　例1：如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB,CA=CB，

　　求證：直線AB是⊙O的切線。

　　證明：連結0C

　　∵0A＝0B，CA＝CB，

　　∴AB⊥OC。

　　∵直線AB經過半徑0C的外端C，

　　并且垂直于半徑0C，

　　∴AB是⊙O的切線。

　　【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結論，特別要注意“經過半徑的`外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線。

　　例2：如圖，P是∠BAC上的平分線上一點，PD⊥AC，垂足為D，請問AB與以P

　　為圓心、PD為半徑的圓相切嗎？為什么？

　　證明：過P作PE⊥AB于E

　　∵AP平分∠BAC,PD⊥AC

　　∴PE=PD(角平分線上的點到角兩邊距離相等)

　　∴圓心P到AB的距離PE=PD=半徑

　　∴AB與圓相切

　　【設計意圖】通過例一和例二的解答，總結證明切線的兩種添加輔助線的方法。

　　①當直線與圓有一個公共點時，把圓心和這個公共點連結起來，證明直線垂直于這條半徑，簡稱為“連半徑，證垂直”；

　　②當直線和圓的公共點沒有明確時，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱為“作垂直，證半徑”。

　　三、知識應用（練習）

　　1、如圖，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長線上

　　的一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，弦AC平分∠EAB。

　　求證：DE是⊙O的切線．

　　［分析］：因直線DE與⊙O有公共點C，故應采用“連半徑，證垂直”的方法。

　　證明：連接OC，則OA=OC，

　　∴∠CAO=∠ACO(等邊對等角)

　　∵AC平分∠EAB(已知)

　　∴∠EAC=∠CAO(角平分線的定義)

　　∴∠EAC=∠ACO（等量代換）

　　∴AE∥CO，(內錯角相等，兩直線平行)

　　又AE⊥DE，

　　∴CO⊥DC，

　　∴DE是⊙O的切線．

　　【評析】本題綜合運用了圓的切線的性質與判定定理．一定要注意區分這兩個定理的題設與結論，注意在什么情況下可以用切線的性質定理，在什么情況下可以用切線的判定定理．希望同學們通過本題對這兩個定理有進一步的認識．本題若作OC⊥CD，就判斷出了CD與⊙O相切，這是錯誤的．這樣做相當于還未探究、判斷，就以經得出了結論，顯然是錯誤的。

　　2、如圖，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分別是AC、

　　BC的中點，求證：以EF為直徑的⊙O 與AB 相切。

　　［分析］：因直線AB與⊙O無確定的公共點，故應采用“作垂直，證半徑”方法。

　　證明：過O點作OH⊥AB于H

　　∵E、F分別為AC、BC的中點（已知）

　　∴EF∥AB，且EF=AB（三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）

　　∴G點為CD的中點，OH=GD=CD

　　∵CD=AB ∴EF=CD

　　∴OH=EF

　　∴AB為⊙O的切線

　　四、小結升華

　　本節課里，你學到了哪些知識，它們是如何應用的？