微積分課件完整版

教案時間：2021-08-31 手機版

微積分課件完整版

　　微積分課件完整版

　　微積分（Calculus）是高等數學中研究函數的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

　　詞目釋義

　　從17世紀開始，隨著社會的進步和生產力的發展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數學也開始研究變化著的量，數學進入了“變量數學”時代。整個17世紀有數十位科學家為微積分的創立做了開創性的研究，但使微積分成為數學的一個重要分支的還是牛頓。

　　（1）運動中速度與距離的互求問題

　　求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為以時間為變量的函數公式，求速度和距離。這類問題是研究運動時直接出現的，困難在于，所研究的速度和加速度是每時每刻都在變化的。比如，計算物體在某時刻的瞬時速度，就不能像計算平均速度那樣，用移動的距離去除運動的時間，因為在給定的瞬間，物體移動的距離和所用的時間是

　　是無意義的。但是，根據物理，每個運動的物體在它運動的'每一時刻必有速度，這也是無疑的。已知速度公式求移動距離的問題，也遇到同樣的困難。因為速度每時每刻都在變化，所以不能用運動的時間乘任意時刻的速度，來得到物體移動的距離。

　　（2）求曲線的切線問題

　　這個問題本身是純幾何的，而且對于科學應用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光學是十七世紀的一門較重要的科學研究，透鏡的設計者要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應用反射定律，這里重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直于切線的，所以總是就在于求出法線或切線；另一個涉及到曲線的切線的科學問題出現于運動的研究中，求運動物體在它的軌跡上任一點上的運動方向，即軌跡的切線方向。

　　（3）求長度、面積、體積、與重心問題等

　　這些問題包括，求曲線的長度（如行星在已知時期移動的距離），曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體

　　的重心，一個相當大的物體（如行星）作用于另一物體上的引力。實際上，關于計算橢圓的長度的問題，就難住數學家們，以致有一段時期數學家們對這個問題的進一步工作失敗了，直到下一世紀才得到新的結果。又如求面積問題，早在古希臘時期人們就用窮竭法求出了一些面積和體積，如求拋物線在區間

　　上與

　　軸和直線

　　所圍成的面積

　　，他們就采用了窮竭法。當分割的份數越來越多時，所求得的結果就越來越接近所求的面積的精確值。但是，應用窮竭法，必須添上許多技藝，并且缺乏一般性，常常得不到數字解。當阿基米德的工作在歐洲聞名時，求長度、面積、體積和重心的興趣復活了。窮竭法先是逐漸地被修改，后來由于微積分的創立而根本地修改了。

　　（4）求最大值和最小值問題（二次函數，屬于微積分的一類）

　　例如炮彈在炮筒里射出，它運行的水平距離，即射程，依賴于炮筒對地面的傾斜角，即發射角。一個“實際”的問題是：求能夠射出最大射程的發射角。十七世紀初期，Galileo斷定（在真空中）發射角是

　　時達到最大射程；他還得出炮彈從各個不同角度發射后所達到的不同的最大高度。研究行星的運動也涉及到最大值和最小值的問題。

　　基本內容

　　數學分析