圓有關的比例線段教案設計

　　教學建議

　　1、教材分析

　　(1)知識結構

　　(2)重點、難點分析

　　重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.

　　難點：正確地寫出定理中的等積式.因為圖形中的線段較多，學生容易混淆.

　　2、教學建議

　　本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4并做有關的練3.

　　(1)教師通過教學，組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題，逐步培養學生研究性學習意識，激發學生的學習熱情;

　　(2)在教學中，引導學生觀察猜想證明應用等學習，教師組織下，以學生為主體開展教學活動.

　　第1課時：相交弦定理

　　教學目標 ：

　　1.理解相交弦定理及其推論，并初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算;

　　2.學會作兩條已知線段的比例中項;

　　3.通過讓學生自己發現問題，調動學生的思維積極性，培養學生發現問題的能力和探索精神;

　　4.通過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.

　　教學重點：

　　正確理解相交弦定理及其推論.

　　教學難點 ：

　　在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.

　　教學活動設計

　　(一)設置學習情境

　　1、圖形變換：(利用電腦使AB與CD弦變動)

　　①引導學生觀察圖形，發現規律：D，B.

　　②進一步得出：△APC∽△DPB.

　　.

　　③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關系會發生變化嗎?為什么?

　　組織學生觀察，并回答.

　　2、證明：

　　已知：弦AB和CD交于⊙O內一點P.

　　求證：PAPB=PCPD.

　　(A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明;B、C層學生在老師引導下完成)

　　(證明略)

　　(二)定理及推論

　　1、相交弦定理： 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

　　結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理：在⊙O中;弦AB，CD相交于點P，那么PAPB=PCPD.

　　2、從一般到特殊，發現結論.

　　對兩條相交弦的位置進行適當的調整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且ABCD于P.

　　提問：根據相交弦定理，能得到什么結論?

　　指出：PC2=PAPB.

　　請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書.

　　推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.

　　3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2=PAPB.

　　若再連結AC，BC，則在圖中又出現了射影定理的基本圖形，于是有：

　　PC2=PAAC2=APCB2=BPAB

　　(三)應用、反思

　　例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.

　　引導學生根據題意列出方程并求出相應的解.

　　例2 已知：線段a，b.

　　求作：線段c，使c2=ab.

　　分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.

　　作法：口述作法.

　　反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啟發學生考慮通過其它途徑完成作圖.

　　練習1 如圖，AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP=1厘米，求CD.

　　變式練習：若AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP，DP的長度皆為整數.那么CD的長度是 多少?

　　將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣

　　練習2 如圖，CD是⊙O的直徑，ABCD，垂足為P，AP=4厘米，PD=2厘米.求PO的長.

　　練習3 如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點，OPPC，PC 交⊙O于C. 求證：PC2=PAPB

　　引導學生分析：由APPB，聯想到相交弦定理，于是想到延長 CP交⊙O于D，于是有PCPD=PAPB.又根據條件OPPC.易 證得PC=PD問題得證.

　　(四)小結

　　知識：相交弦定理及其推論;

　　能力：作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力;

　　思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.

　　(五)作業

　　教材P132中 9，10;P134中B組4(1).

　　第2課時 切割線定理

　　教學目標 ：

　　1.掌握切割線定理及其推論，并初步學會運用它們進行計算和證明;

　　2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力

　　3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論，培養學生辯證唯物主義的觀點.

　　教學重點：

　　理解切割線定理及其推論，它是以后學習中經常用到的重要定理.

　　教學難點 ：

　　定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯系是難點.

　　教學活動設計

　　(一)提出問題

　　1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內一點.如果兩弦延長交于圓外一點P，那么該點到割線與圓交點的四條線段PA，PB，PC，PD的長之間有什么關系?(如圖1)

　　當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合為一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA，PB，PT之間又有什么關系?

　　2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段PT，PA，PB間的關系為PT2=PAPB.

　　3、證明：

　　讓學生根據圖2寫出已知、求證，并進行分析、證明猜想.

　　分析：要證PT2=PAPB， 可以證明，為此可證以 PAPT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線TP，PB.(圖3).容易證明PTA=B又P，因此△BPT∽△TPA，于是問題可證.

　　4、引導學生用語言表達上述結論.

　　切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

　　(二)切割線定理的推論

　　1、再提出問題：當PB、PD為兩條割線時，線段PA，PB，PC，PD之間有什么關系?

　　觀察圖4，提出猜想：PAPB=PCPD.

　　2、組織學生用多種方法證明：

　　方法一：要證PAPB=PCPD，可證此可證以PA，PC為邊的三角形和以PD，PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AC，BD，容易證明PAC=D，P，因此△PAC∽△PDB. (如圖4)

　　方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD為邊的.三角形和以PC、PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明D，又P. 因此△PAD∽△PCB.(如圖5)

　　方法三：引導學生再次觀察圖2，立即會發現.PT2=PAPB，同時PT2=PCPD，于是可以得出PAPB=PCPD.PAPB=PCPD

　　推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)

　　(三)初步應用

　　例1 已知：如圖6，⊙O的割線PAB交⊙O于點A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半徑.

　　分析：由于PO既不是⊙O的切線也不是割線，故須將PO延長交⊙O于D，構成了圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運用切割線定理的推論，問題得解.

　　(解略)教師示范解題.

　　例2 已知如圖7，線段AB和⊙O交于點C，D，AC=BD，AE，BF分別切⊙O于點E，F，

　　求證：AE=BF.

　　分析：要證明的兩條線段AE，BF均與⊙O相切，且從A、B 兩點出發引的割線ACD和BDC在同一直線上，且AC=BD，AD=BC. 因此它們的積相等，問題得證.

　　學生自主完成，教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤，如AE2=ACCD和BF2=BDDC等.

　　鞏固練習：P128練習1、2題

　　(四)小結

　　知識：切割線定理及推論;

　　能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式;

　　方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.

　　(五)作業 教材P132中，11、12題.

　　探究活動

　　最佳射門位置

　　國際足聯規定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).

　　分析與解 如圖1所示.AB是足球門，點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向P上方或下方移動，視角都變小，因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即OP是圓的切線，而OB是圓的割線.

　　故 ，又 ，

　　OB=30.34+7.32=37.66.

　　OP=(米).

　　注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角

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