教學目標
①運用豐富的實例,使學生在具體情境中領悟函數概念的意義,了解常量與變量的含義.能分清實例中的常量與變量,了解自變量與函數的意義.
②通過動手實踐與探索,讓學生參與變量的發現和函數概念的形成過程,以提高分析問題和解決問題的能力.
③引導學生探索實際問題中的數量關系,培養對學習數學的興趣和積極參與數學活動的熱情.在解決問題的過程中體會數學的應用價值并感受成功的喜悅,建立自信心.
教學重點與難點
重點：函數概念的形成過程.
難點：正確理解函數的概念.
教學準備
每個小組一副彈簧秤和掛件,一根繩子.
教學設計
提出問題:
1.汽車以60千米/時的速度勻速行駛.行駛里程為s千米,行駛時間為t小時.先填寫下面的表,再試著用含t的式子表示s：
t(小時) 1 2 3 4 5
s(千米)
2.已知每張電影票的售價為10元.如果早場售出150張,日場售出205張,晚場售出310張,那么三場電影的票房收入各為多少元?設一場電影售出x張票,票房收人為y元,怎樣用含x的式子表示y?
3.要畫一個面積為10cm2的圓,圓的半徑應取多少?畫面積為20cm2的圓呢?怎樣用含圓面積S的式子表示圓半徑r?
注:(1)讓學生充分發表意見,然后教師進行點評.
(2)挖掘和利用實際生活中與變量有關的問題情景,讓學生經歷探索具體情景中兩個變量關系的過程,直接獲得探索變量關系的體驗.
動手實驗
1.在一根彈簧秤上懸掛重物,改變并記錄重物的質量,
觀察并記錄彈簧長度的變化,填入下表：
懸掛重物的質量m(kg)
彈簧長度l(cm)
如果彈簧原長10cm,每1kg重物使彈簧伸長0.5cm,怎樣用重物質量m(kg)的式子表示受力后的彈簧長度l(cm)?
2.用10dm長的繩子圍成矩形.試改變矩形的長,觀察矩形的面積怎樣變化,記錄不同的矩形的長的值,計算相應的矩形面積的值,探索它們的變化規律(用表格表示).設矩形的長為xdm,面積為Sdm2,怎樣用含x的'式子表示S?
注:分組進行實驗活動,然后各組選派代表匯報.
通過動手實驗,學生的學習積極性被充分調動起來,進一步深刻體會了變量間的關系,學會了運用表格形式來表示實驗信息.
探究新知
(一)變量與常量的概念
1.在學生動手實驗并充分發表自己意見的基礎上,師生共同歸納：上面的問題和實驗都反映了不同事物的變化過程.其中有些量(時間t、里程s、售出票數x、票房收入y等)的值是按照某種規律變化的.在一個變化過程中,數值發生變化的量,我們稱之為變量.也有些量是始終不變的,如上面問題中的速度60(千米/時)、票價10(元)等,我們稱之為常量.
2.請具體指出上面這些問題和實驗中,哪些量是變量,哪些量是常量.
3.舉出一些變化的實例,指出其中的變量和常量.
注:分組活動.先獨立思考,然后組內交流并作記錄,最后各組選派代表匯報.
培養學生主動參與、合作交流并能用數學的眼光看待世界的意識,提高觀察、分析、概括和抽象等的能力.
(二)函數的概念
1.在前面的每個問題和實驗中,是否各有兩個變量?同一個問題中的變量之間有什么聯系?
師生分析得出：上面的每個問題和實驗中的兩個變量互相聯系.當其中一個變量取定一個值時,另一個變量就有惟一確定的值.
2.分組討論教科書P.7 “觀察”中的兩個問題.
注:使學生加深對各種表示函數關系的表達方式的印象.
3.一般來說,在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有惟一確定的值與其對應,那么,我們就說x是自變量,y是x的函數.如果當x=a時,y=b,那么,b叫做當自變量的值為a時的函數值.例如在問題1中,時間t是自變量,里程s是t的函數.t=1時,其函數值s為60,t=2時,其函數值s為120.
同樣,在心電圖中,時間x是自變量,心臟電流y是x的函數；
在人口統計表中,年份x是自變量,人口數y是x的函數.當x=1999時,函數值y=12.52.
鞏固新知
下列各題中分別有幾個變量?你能將其中的某個變量看成是另一變量的函數嗎?
1.右圖是北京某日溫度變化圖
2.如圖,已知菱形ABCD的對角線AC長為4,BD的長在變化,設BD的長為x,則菱形的面積為y= ×4×x
3.國內平信郵資(外埠,100克內)簡表：
信件質量m/克 O<m≤20 20<m≤40 40<m≤60
郵資y/元 O.80 1.60 2.40
注:鞏固變量與函數的概念,讓學生充分體會到許多問題中的變量關系都存在著函數關系,初步了解函數的三種表示方法.
總結歸納
1.常量與變量的概念；
2.函數的定義；
3.函數的三種表示方式.
注:通過總結歸納,完善學生已有的知識結構.
布置作業
1.必做題：教科書P.18 習題11.1第1題.
2.選做題：教科書P.18 習題11.1第2題.
3.備選題：
(1)下圖是某電視臺向觀眾描繪的一周之內日平均溫度的變化情況：
①圖象表示的是哪兩個變量之間的關系?哪個是自變量?哪個是函數?
②這周哪天的日平均溫度最低?大約是多少度?哪天的日平均溫度最高?大約是多少度?
③14、15、16日的日平均溫度有什么關系?
④點A表示的是哪天的日平均溫度?大約是多少度?
⑤說說這一周的日平均溫度是怎樣變化的.
(2)如右圖所示,梯形上底的長是x,下底的長是15,高是8.
①梯形面積y與上底的長x之間的關系式是什么?并指出其中的變量和常量、自變量與函數.
②用表格表示當x從10變到20時(每次增加1),y的相應值.
③當x每增加1時,y如何變化?說說你的理由.
④當x=0時,y等于多少?此時它表示的是什么?
(3)研究表明,土豆的產量與氮肥的施用量有如下關系：
施肥量(千克/公頃) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆產量(噸/公頃) 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
①上表反映的是哪兩個變量之間的關系?指出其中的自變量和函數.
②當氮肥的施用量為101千克/公頃時,土豆的產量是多少?如果不施氮肥呢?
③根據表中的數據,你認為氮肥的施用量為多少比較適宜?說說你的理由.
④簡單說一說氮肥的施用量對土豆產量的影響.
設計思想
變量與函數的概念把學生由常量數學引入變量數學,是學生數學認識上的一大飛躍.因此,設計本課時應根據學生的認知基礎,創設豐富的現實情境,使學生從中感知變量與函數的存在和意義,體會變量之間的相互依存關系和變化規律.遵循從具體到抽象、感性到理性的漸進認識規律和以教師為主導、學生為主體的教學原則,引導學生探究新知,引導學生在觀察、分析后歸納,然后提出注意問題,幫助學生把握概念的本質特征,并在概念的形成過程中培養學生的觀察、分析、抽象和概括等能力.同時在引導學生探索變量之間的規律,抽象出函數概念的過程中,要注重學生的過程經歷和體驗,讓學生領悟到、現實生活中存在著多姿多采的數學問題,并能從中提出問題、分析問題和解決問題.還要培養一種團隊合作精神,提高探索、研究和應用的能力,使學生真正成為數學學習的主人.
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