----數學習題課“一題多問”“一題多變”教學案例與評析
數學習題課對所學過的知識能夠起到檢查、鞏固、提高、拓展的功效，在進行概念教學的過程中，應當適當安排一些習題課。然而，習題課的選題，容量怎樣安排才合理，效益如何提高，如何培養學生的良好思維品質？我一直在思考、在嘗試。我認為習題課絕不是簡單的習題介紹，也絕不是教輔資料的處理之需，我覺得習題課題目的選擇和教學安排應該遵循兩個原則：一是整理知識，整頓習慣，整合思維的原則；一是引導思考，自主探究，激活思維的原則。高二這段時間進行橢圓單元的教學，在習題課上，我備課時，首先確定好這一節課的目標以及每個選題的目標，然后圍繞這一目標進行廣泛閱讀、篩選、重組，盡量編成“一題多問”、“一題多變”的題目，這樣，教學容量、效益有了很大提高。以下是本人高二橢圓單元教學習題課設置的“一題多問”、“一題多變”教學案例。
【教學案例一】
○教學背景：橢圓標準方程及簡單的幾何性質上完后，為了使學生掌握標準方程及相關的量，我安排了習題課，編成“一題多問”的題。
教學目標：
1）加強學生對橢圓方程的認識，鞏固有關概念、性質。
2）能夠根據橢圓的簡單幾何性質求橢圓的標準方程。
問題設置：例1：已知橢圓方程，回答下列問題：
（1）出該橢圓的長軸、短軸長，焦距，離心率
（2）寫出該橢圓的頂點、焦點坐標，準線方程
（3）作出該橢圓的圖形。
教學要求：
1）三位同學板演。
2）把1、2中涉及到的量在圖中標出。
3）體會橢圓中的量與焦點的位置關系。
教學意圖：1）檢查、鞏固，2）數形結合，3）引導學生比較、思考
○教學背景：根據性質求橢圓方程，能夠強化對橢圓的幾何性質認識，這是教學的重點。
教學目標：鞏固橢圓的性質，熟練掌握求橢圓方程的方法和注意四項。
問題設置：例2.根據條件,寫出對稱軸在坐標軸上的橢圓的標準方程：
(1)過點P(3,0),且長軸長是短軸長的`三倍的橢圓。
(2)以直線3x+4y－12=0和兩軸的交點分別作為頂點和焦點的橢圓。
(3)一個焦點把長軸分成長度為7和1兩段的橢圓。
(4)已知長軸長與短軸長之比為2：1,一條準線方程為x+4=0的橢圓。
(5)長軸在x軸上,離心率為,一條準線是x=3的橢圓。
(6)焦點在x軸上,其長軸端點與相近的焦點相距為1,與相近的一條準線距離為。
教學要求：1）前三題學生板演。
2）要求學生進行解題反思，整合求橢圓的一般思路及注意事項。
3）后三題課外作業。
教學意圖：1、引導思考，自主探究，激活思維。
2、整理知識，整頓習慣，整合思維。
【評析】
新課程改革要求我們重新樹立教材觀，教師對教材、教輔進行再加工，再創造。習題課如果只是把課本、資料上的題目照搬照抄，使用起來總感到凌亂、目標不集中，講解單調，題目功效較弱等缺憾。這樣，備課時考慮好想要達到的目標，廣泛閱讀，仔細篩選，大膽重組編成需要的題目，使用起來很方便，講解起來易透徹，教學意圖特明顯。另外，新課改積極倡導“探究式課堂教學”，就是以探究為主的教學。具體說它是指教學過程是在教師設置的問題引領下，以學生獨立自主學習和合作討論為前提，以現行教材為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑嘗試活動，將自己所學知識應用于解決實際問題的一種教學形式。一題多問，根據老師的預設，層層深入探究，發展了學生的思維，培養了自學能力；一題多變，讓學生在做題中自己發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，促使他們自己去獲取知識、發展能力；一題多人板演，有比較，互展示，教師為學生的學習設置探究的情境，建立探究的氛圍，讓學生在求解過程中求創新、求速度、求最佳。
【教學案例二】
○教學背景：對于橢圓方程，學生對焦點在X軸上的標準方程比較熟悉，解題時往往疏忽焦點在Y軸上的情形。于是我設置了這樣一個題目，以期引起學生重視。
教學目標：加強對橢圓方程的認識，在解題中注意焦點的位置。
問題設置：例：設方程，回答下列問題：
（1）方程表示焦點在X軸上的橢圓，求實數m的取值范圍。
（2）方程的準線與X軸平行，求實數m的取值范圍。
（3）方程的一個焦點坐標為（0，1），求m的值。
（4）方程的離心率e=，求m的值。
教學要求：四個組每組一題，選代表板演，并說出老師選這題的意圖。
教學意圖：引導思考，合作交流，比較歸納。
【評析】
兩相比照辨異同，舉一反三旁類通。比較是確定客觀事物彼此之間的不同點和相同點的一種思維方法。通過比較，能使我們認識事物本身所固有的特點（即在比較中求異），也能夠認識同類事物的共點特點（即在比較中求同）。通過這一題多問，反復強調求解時要考慮焦點位置，意識得到強化。同時告訴學生把橢圓方程換一下，課后在去做，問題迎刃而解。通過對題目的背景的改變，讓學生不斷思考，互相啟發，總結歸納出解題規律。這類題具有很強的嚴密性和發散性，通過訓練把學生的思維引到一個廣闊的空間，培養了學生思維的廣度和深度。這樣，通過“一題多問”和“一題多變”，拓展了思維空間，培養學生的創新思維。對高中學生來說，有利于培養他們學習數學的濃厚興趣和創新精神。
【教學案例三】○教學背景：橢圓單元里有一類圍繞焦點三角形而設置的題目，有規律可循。
問題設置：例：設P是橢圓上一點，F1、F2為橢圓的兩個焦點，
（1）若，求P點坐標，三角形F1AF2的面積。
（2）若，求P點坐標，三角形F1AF2的面積。
（3）為鈍角，求P點橫坐標x0的取值范圍。
教學要求：講解問1，學生自做問2、3
【評析】
類比、聯想是重要的數學思想，求同、求異是數學思考的常見方法。“一題多問”和“一題多變”巧妙地把同類的放在一起讓學生去感受，去體會，去總結。原本被動的行為在潛移默化中變為自覺行為。教學中不僅要求學生的思維活躍，教師的思維更應開放，教師只要細心大膽挖掘，從問題個性中探求共性，尋求變異，多角度、多層次去構思、延伸、開拓，這樣引導思考，自主探究，有利于激活學生思維。
【教學案例四】
○教學背景：最值題對學生來說是個難點，橢圓與雙曲線有許多相近之處，講好橢圓有利于全局。仔細研究橢圓單元的有關最值題，萬變不離其宗，有通法。
教學目標：掌握一些橢圓有關的最值問題，探求解決這類問題的一般思路。
問題設置：例：已知x、y滿足，探究下列問題：
（1）求U=x2+y2-2y的取值范圍。
（2）求U=2x+3y+4的取值范圍。
（3）求點P（x,y）到A（1，1）距離最小值及對應的P點坐標。
（4）求點P（x,y）到直線L：x+2y=4距離的最值。
（5）求U=的取值范圍。
（6）設該橢圓與坐標軸正半軸交于A、B兩點，在劣弧上取一點C使四邊形OACB面積最大，求面積最大值。
教學要求：教師啟發，學生口答，師生合作完成。回頭比較，總結出規律：
1）建立目標函數。對于目標函數采用的手段有：消元：法一，代入消元轉化成二次函數；如1.3.
法二，參數方程轉化成三角函數；如1.2.3.4
聯想：數學表達式的幾何意義，如斜率、距離等。如5
2）找臨界狀態。如6
【評析】
在教學中，教師的“導”：需精心創設問題情境，組織學生進行生動有趣的“活動”，留給學生想象和思維的“空間”，充分揭示獲取知識的思維過程，使學生在過程中“學會”并“會學”，優化學生的思維品質，從而得到主體的智力發展。現代教育論指出，教育是教師的導引與學生的知行的統一，教育過程是師生交往、積極互動、共同發展的過程。交往的本質屬性是主體性，是動態的表現出來的主體之間的相互作用、相互交流、相互溝通、相互理解，在這個過程中，要消除教師中心和管理中心的傾向，實現師生互動、相互溝通、相互影響、相互補充、從而達到共識、共享、共進，這是教學相長的真諦。習題課題目的選擇重組，給師生共同探究提供了一個平臺，問題的設置，有序，遞進，通過探究能夠發現規律，便于總結歸納，很有一點“潤物無聲”的教育功效。
實踐讓我體會到“一題多問”和“一題多變”對數學問題進行再加工，再創新，能夠引導學生思考，便于學生自主探究，有利于激活學生思維。同時也能夠方便師生共同整理知識，整頓解題習慣，整合思維。“一題多問”和“一題多變”設置問題使教師的預設促學生的生成，使習題課更精彩。
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