均值定理又叫基本不等式，是高中數學學習中的一個非常重要的知識點，在日后的函數求最值問題中有十分頻繁的應用。以下是小編整理的職高均值定理課件，歡迎閱讀。

　　復習目標

　　1.掌握均值定理.

　　2.會用均值定理求最值和證明不等式.

　　3.會解不等式的應用題.

　　知識回顧

　　均值定理及重要不等式：

　　一.均值定理：

　　，其中當且僅當時取等號;

　　注：注意運用均值不等式求最值時的條件：

　　(1);(2)與的積是一個定值(正數);(3)當且僅當時取等號.

　　記憶時可記為一“正”、二“定”、三“等”.

　　二、重要不等式

　　(1);

　　(2)， 其中當且僅當時取等號.

　　三.例題精解

　　【例1】 (1)如果，則的最大值是 ;

　　(2)如果，則的最小值是 .

　　分析：兩題顯然都可以用均值定理求解.

　　解：(1)

　　當且僅當時，有最大值4.

　　(2)

　　當且僅當時，取最小值6.

　　【點評】(1)若，且(常數)，則;

　　(2)若，且(常數)，則.

　　【例2】 當時，求的最大值.

　　分析：由于為定值，且依題意有，故可用均值定理，求最值.

　　解：∵,∴

　　當且僅當, 即時，取最大值8.

　　【例3】當時，求函數的最小值.

　　分析： ，由于為定值，且依題知，故可用均值定理求最值.

　　解：∵，∴

　　當且僅當，即時，取最小值3.

　　【例4】求函數的最小值，下列解法是否正確?為什么?

　　解法一：

　　∴

　　解法二：，當，即時，

　　∴

　　答：以上兩種解法均有錯誤。解一錯在取不到“=”，即不存在使得;解二錯在不是定值(常數).

　　正確的解法是：

　　當且僅當，即時，

　　【點評】(1)用求最值時需要同時滿足如下三個條件：

　　①;

　　②為常數;

　　③“=”可取.

　　(2)注意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等” .

　　(3)利用均值不等式求幾個正數和的最小值時，關鍵在于構造條件，使其積為常數.通常要通過添加常數、拆項(常常是拆低次的式子)等方式進行構造.

　　【例5】若正數滿足，求的.最小值.

　　解：∵ ，

　　當且僅當，即時，取最小值.

　　【例6】將一塊邊長為的正方形鐵皮，剪去四個角(四個全等的正方形)，做成一個無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少?最大容積是多少?

　　解：設剪去的小正方形的邊長為

　　則其容積為

　　當且僅當即時，

　　所以當剪去的小正方形的邊長為時，鐵盒的容積最大為.

　　同步訓練

　　1.為非零實數，那么不等式恒成立的是( )

　　A. B. C. D.

　　2.設則下列不等式成立的是( )

　　A. B. C. D.

　　3.如果>0，則≥ .

　　4.如果，則的最大值是 .

　　5.如果，則的最小值是 .

　　6.如果，則的最小值是 .

　　7.已知，函數的最小值是 .

　　8.已知，函數的最大值是 .

　　9.已知，函數的最大值是 .

　　10.已知，函數的最小值是 .

　　11.若，,，則的最大值是 .

　　12.當時，求的最小值, 并求此時的取值.

　　13.已知，求的最小值, 并求此時的取值.

　　14.已知：，求的最大值，并求此時的取值.

　　15.當時，求的最小值.

　　16.用鐵皮做圓柱形的密封式罐頭瓶，要求它的體積為定值V，問怎樣設計底面圓的半徑和它的高，才能使用料最省.

　　17.制作一個容積為的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和高各取多少時，用料最省?(不計加工時的損耗及接縫用料)

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