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初三數學《兩角差的余弦公式》說課稿

說課稿 時間:2021-08-31 手機版

初三數學《兩角差的余弦公式》說課稿

  各位評委、各位老師:

  大家上午好。

  今天我們上課的內容是《兩角差的余弦公式》。

  首先,我們看兩個問題:

  (1) cos( π —α ) = ?

  (2) cos( 2π — α) = ?

  大家根據誘導公式很快得出了答案,大家接著思考一個問題,當特殊角π和2π被一般角取代,

  (3) cos( α-β ) = ?

  大家猜想了多種可能,其中有同學猜想cos(α-β) = cosα-cosβ 那么這些結論是否成立?

  我們一起來用計算器驗證。

  在這里我們做了與單位圓相交的兩個角α,β,現在我們來一起模擬計算下大家猜想的幾組結論 。首先任意取一組α,β角,模擬計算出 cos(α-β ); cosα-cosβ; sin α- sinβ; co sα-sin β;由結果推翻假設(反證法), 那么c o s ( α-β )到底等于什么呢? 現在我們來借助計算機的強大計算功能 ,由c o s ( α-β )的結果模擬可能的答案。

  計算機模擬結論

  cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ(黑板板書)。

  變換不同的α,β角度,結論保持不變。 同學們觀察分析該結論的構成,右邊與向量夾角的坐標表示一致.

  聯想向量數量積(黑板板書),用向量法證明:

  (1)先假設兩向量夾角為θ,α–β在[0,π],α–β=θ此時結論成立,(2)α–β在[π,2π]時兩向量夾角θ=2π-(α–β)

  此時 cos[2π-(α–β)]=cos(α–β)

  (3)α–β在全體實數范圍都可以由誘導公式轉換到[0,2π] 綜合三種情況,cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ。得證

  經過大家的猜想,計算,證明,我們得出兩角差的余弦公式,有些同學開始產生疑問,我們最開始的兩個誘導公式是否出現了錯誤,都是兩角差的余弦,結論似乎不一致,現在我們一起來探討,揭開謎底。

  用兩角差的`余弦公式證明問題(1)(2)。

  帶入具體角度,用兩角差余弦公式求cos15°= cos(45°— 30°),同學們試著將15°分成(60°-45°)。(分成17°-2°是否可行)

  練習:

  證明: cos (α +β)= cos α  cos β-sin α  sin β

  思考 : 能否參考兩角差的余弦公式進行推導?

  我們的新課改提倡“減負”,從數學的角度,減負就是---“加正”,

  所以 α +β = α - (- β )

  由此cos (α +β)

  = cos [α - (- β )]

  =cosα cos( -β) +sin α sin(-β)

  = cosα cosβ-sin α sin β

  對比:

  兩角和與差的余弦公式:

  cos (α –β)= cosα cosβ + sinα sinβ

  cos (α +β)= cosα cosβ - sinα sinβ

  余 余 異號 正 正

  化簡求值:

  (1) cos105 °cos15 °+ sin105 °sin15 ° =cos90 °=0

  (2)cos(θ+20°)cos(θ-40°)+sin(θ+20°)sin(θ-40°) = cos60 =1/2

  (3)cos35 °cos10 ° - sin35 °sin10 °=cos45 °

  回顧反思:

  提出問題

  由兩個熟悉的誘導公式入手,從特殊到一般,提出問題。

  探究問題

  假設猜想——反證否定——計算機模擬猜想——證明——肯定結論——靈活應用——公式對照記憶。

  下節課需要解決的內容,通過已經證明的兩角和余弦的思路,思考兩角和差的正弦。

  作業布置:

  課本131頁 第一題 和 第五題。

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