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恒成立與存在性問題方法總結

總結 時間:2021-08-31 手機版

  高三數學復習中的恒成立與存在性問題,涉及一次函數、二次函數等函數的性質、圖像,滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法,有利于考查學生的綜合解題能力,在培養學生思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用,因此也成為歷年高考的一個熱點,恒成立與存在性問題的處理途徑有多種,下面是小編整理的恒成立與存在性問題方法總結,歡迎來參考!

   一、構建函數

  構建適當的函數,將恒成立問題轉化為能利用函數的性質來解決的問題。

  1、構建一次函數

  眾所周知,一次函數的圖像是一條直線,要使一次函數在某一區間內恒大于(或小于)零,只需一次函數在某區間內的兩個端點處恒大于(或小于)零即可。

  例1:若x∈(-2,2),不等式kx+3k+1>0恒成立,求實數k的取值范圍。

  解:構建函數f(x)= kx+3k+1,則原問題轉化為f(x)在x∈(-2,2)內恒為正。若k=0,則f(x)=1>0恒成立;若k≠0,則f(x)為一次函數,問題等價于f(-2)>0,f(2)>0,

  解之得k∈(- ,+∞)。

  例2:對m≤2的一切實數m,求使不等式2x-1>m(x -1)都成立的x的取值范圍。

  解:原問題等價于不等式:(x -1)m-(2x-1)<0,設f(m)=(x -1)m-(2x-1),則原問題轉化為求一次函數f(m)或常數函數在[-2,2]內恒為負值時x的取值范圍。

  (1)當x -1=0時,x=±1。

  當x=1時,f(m)<0恒成立;當x=-1時,f(m)<0不成立。

  (2) 當x -1≠0時,由一次函數的單調性知:f(m)<0等價于f(-2)<0,且f(2)<0,即<x< ;綜上,所求的x∈(  )。

  2、構建二次函數


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