最新數(shù)學教學計劃:之間的關系與運算

實用文時間：2021-08-31 手機版

最新數(shù)學教學計劃模板:集合之間的關系與運算

　　整體設計

　　教學分析

　　課本從學生熟悉的集合出發(fā)，結合實例，通過類比實數(shù)加法運算引入集合間的運算，同時，結合相關內(nèi)容介紹子集和全集等概念.在安排這部分內(nèi)容時，課本繼續(xù)注重體現(xiàn)邏輯思考的方法，如類比等.

　　值得注意的問題：在全集和補集的教學中，應注意利用圖形的直觀作用，幫助學生理解補集的概念，并能夠用直觀圖進行求補集的運算.

　　三維目標

　　1.理解兩個集合的并集與交集、全集的含義，掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法，會求給定子集的補集，感受集合作為一種語言，在表示數(shù)學內(nèi)容時的簡潔和準確，進一步提高類比的能力.

　　2.通過觀察和類比，借助Venn圖理解集合的基本運算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用，培養(yǎng)數(shù)形結合的思想.

　　重點難點

　　教學重點：交集與并集、全集與補集的概念.

　　教學難點：理解交集與并集的概念，以及符號之間的區(qū)別與聯(lián)系.

　　課時安排

　　2課時

　　教學過程

　　第1課時

　　作者：尚大志

　　導入新課

　　思路1.我們知道，實數(shù)有加法運算，兩個實數(shù)可以相加，例如5+3=8.類比實數(shù)的加法運算，集合是否也可以“相加”呢?教師直接點出課題.

　　思路2.請同學們考察下列各個集合，你能說出集合C與集合A，B之間的關系嗎?

　　(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};

　　(2)A={x|x是有理數(shù)}，B={x|x是無理數(shù)}，C={x|x是實數(shù)}.

　　引導學生通過觀察、類比、思考和交流，得出結論.教師強調(diào)集合也有運算，這就是我們本節(jié)課所要學習的內(nèi)容.

　　思路3.(1)①如圖1甲和乙所示，觀察兩個圖的陰影部分，它們分別同集合A、集合B有什么關系?

　　圖1

　　②觀察集合A，B與集合C={1,2,3,4}之間的關系.

　　學生思考交流并回答，教師直接指出這就是本節(jié)課學習的課題：集合的基本運算.

　　(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，寫出由集合A，B中的所有元素組成的集合C.

　　②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在數(shù)軸上表示出集合A與B，并寫出由集合A與B中的所有元素組成的集合C.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　(1)通過上述問題中集合A，B與集合C之間的關系，類比實數(shù)的加法運算，你發(fā)現(xiàn)了什么?

　　(2)用文字語言來敘述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關系.

　　(3)用數(shù)學符號來敘述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關系.

　　(4)試用Venn圖表示A∪B=C.

　　(5)請給出集合的并集定義.

　　(6)求集合的并集是集合間的一種運算，那么，集合間還有其他運算嗎?

　　請同學們考察下面的問題，集合A，B與集合C之間有什么關系?

　　①A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};

　　②A={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級女同學}，B={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級男同學}，C={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級同學}.

　　(7)類比集合的并集，請給出集合的交集定義，并分別用三種不同的語言形式來表達.

　　活動：先讓學生思考或討論問題，然后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，并對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路，主要引導學生發(fā)現(xiàn)集合的并集和交集運算并能用數(shù)學符號來刻畫，用Venn圖來表示.

　　討論結果：(1)集合之間也可以相加，也可以進行運算，但是為了不和實數(shù)的運算相混淆，規(guī)定這種運算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A與B的并集.記為A∪B=C，讀作A并B.

　　(2)所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成了集合C.

　　(3)C={x|x∈A，或x∈B}.

　　(4)如圖1所示.

　　(5)一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集.其含義用符號表示為A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn圖表示，如圖1所示.

　　(6)集合之間還可以求它們的公共元素組成的集合，這種運算叫求集合的交集，記作A∩B，讀作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.

　　(7)一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.

　　其含義用符號表示為：

　　A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　用Venn圖表示，如圖2所示.

　　圖2

　　應用示例

　　例1 集合A={x|x<5 b="{x|x">0}，C={x|x≥10}，則A∩B，B∪C，A∩B∩C分別是什么?

　　活動：學生先思考集合中元素的特征，明確集合中的元素.將集合中元素利用數(shù)形結合在數(shù)軸上找到，那么運算結果尋求就易進行.這三個集合都是用描述法表示的'數(shù)集，求集合的并集和交集的關鍵是找出它們的公共元素和所有元素.

　　解：因為A={x|x<5 b="{x|x">0}，C={x|x≥10}，在數(shù)軸上表示，如圖3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .

　　變式訓練

　　1.設集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

　　解：對任意m∈A，則有m=2n=2?2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即對任意m∈A有m∈B，所以A?B.

　　而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.

　　2.求滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的個數(shù).

　　解：滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};還可含1或2其中一個，有{1,3}，{2,3};還可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4個滿足條件的集合B.

　　3.設集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

　　解：∵A∩B={9}，則9∈A，a-1=9或a2=9.

　　∴a=10或a=±3.

　　當a=10時，a-5=5 ,1-a=-9;

　　當a=3時，a-1=2不合題意;

　　當a=-3時，a-1=-4不合題意.

　　故a=10.此時A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，滿足A∩B={9}.

　　4.設集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3

　　A.{x|-3

　　C.{x|x>-3} D.{x|x<1}

　　解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，

　　觀察或由數(shù)軸得A∩B={x|-3

　　答案：A

　　例2 設集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

　　活動：明確集合A，B中的元素，教師和學生共同探討滿足A∩B=B的集合A，B的關系.集合A是方程x2+4x=0的解組成的集合，可以發(fā)現(xiàn)，B?A，通過分類討論集合B是否為空集來求a的值.利用集合的表示法來認識集合A，B均是方程的解集，通過畫Venn圖發(fā)現(xiàn)集合A，B的關系，從數(shù)軸上分析求得a的值.

　　解：由題意得A={-4,0}.

　　∵A∩B=B，∴B?A.

　　∴B= 或B≠ .

　　當B= 時，即關于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0無實數(shù)解，

　　則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

　　當B≠ 時，若集合B僅含有一個元素，則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

　　此時，B={x|x2=0}={0}?A，即a=-1符合題意.

　　若集合B含有兩個元素，則這兩個元素是-4,0，

　　即關于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

　　則有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

　　解得a=1，則a=1符合題意.

　　綜上所得，a=1或a≤-1.