1.從甲地到乙地，如果車速每小時提高20千米，那么時間由4小時變為3小時。甲乙兩地相距 千米。

　　240

　　3個小時多行20×3＝60（千米），這60千米原來需行1小時，所以兩地相距60×4＝240（千米）。

　　根據比例關系，原來與現在所用時間比為4︰3,則原來與現在的速度比為3︰4,所以按比例分配得，現在的速度為20÷（4-3）×4＝80（千米），所以路程為80×3＝240（千米）。

　　13. 某小學即將開運動會，一共有十項比賽，每位同學可以任報兩項，那么要有 ___ 人報名參加運動會，才能保證有兩名或兩名以上的同學報名參加的比賽項目相同.

　　46

　　十項比賽，每位同學可以任報兩項，那么有 ＝45種不同的報名方法．

　　那么，由抽屜原理知為 45+1＝46人報名時滿足題意．

　　14.

　　20. 如圖，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是對角線，圖中的陰影部分以CD為軸旋轉一周，則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米？（π=3.14）

　　565.2立方厘米

　　設三角形BOC以CD為軸旋轉一周所得到的立體的體積是S，S等于高為10厘米，底面半徑是6厘米的圓錐的體積減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積。即：

　　S= ×62×10×π-2× ×32×5×π=90π，

　　2S=180π=565.2（立方厘米）

　　S也可以看做一個高為5厘米，上、下底面半徑是3、6厘米的圓臺的體積減去一個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積。

　　4．如圖，點B是線段AD的中點，由A，B，C，D四個點所構成的所有線段的長度均為整數，若這些線段的長度的積為10500，則線段AB的長度是 。

　　5

　　由A，B，C，D四個點所構成的線段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于點B是線段AD的中點，可以設線段AB和BD的長是x，AD=2x，因此在乘積中一定有x3。

　　對10500做質因數分解：

　　10500=22×3×53×7，

　　所以，x=5,AB×BD×AD=53×2,AC×BC×CD=2×3×7,

　　所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.

　　5．設有十個人各拿著一只提桶同時到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第一個人的桶需要1分鐘，注滿第二個人的桶需要2分鐘，…….如此下去，當只有兩個水龍頭時，巧妙安排這十個人打水，使他們總的費時時間最少.這時間等于_________分鐘.

　　125分鐘

　　不難得知應先安排所需時間較短的人打水．

　　不妨假設為：

　　第一個水龍頭

　　第二個水龍頭

　　第一個

　　A

　　F

　　第二個

　　B

　　G

　　第三個

　　C

　　H

　　第四個

　　D

　　I

　　第五個

　　E

　　J

　　顯然計算總時間時，A、F計算了5次，B、G計算了4次，C、H計算了3次，D、I計算了2次，E、J計算了1次．

　　那么A、F為1、2，B、G為3、4，C、H為5、6，D、I為7、8，E、J為9、10．

　　所以有最短時間為(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分鐘．

　　評注：下面給出一排隊方式：

　　第一個水龍頭

　　第二個水龍頭

　　第一個

　　1

　　2

　　第二個

　　3

　　4

　　第三個

　　5

　　6

　　第四個

　　7

　　8

　　第五個

　　9

　　10

　　想象一下，如果你去理發店理發，只需要一分鐘，可能這時已有一位阿姨排在你的前面，她需要1小時。這時，你請她讓你先理，她可能很輕松地答應你了。

　　可是，如果反過來，你排隊在前，這位阿姨請你讓她先理，你很難同意她的要求，而且大家都認為她的要求不合理，這是為什么呢？

　　可以看到，一個水龍頭時的等待總時間算法是：

　　S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E

　　所以，要想使總時間S最小，則要A<B<C<D<E.

　　兩個水龍頭可參見排隊方法，但排隊方法不唯一。有一個原則:

　　（A+F）<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)

　　6.用140個棱長為1的小正方體粘成一個大的長方體，若拆下沿棱的小正方體，則余下92個小正方體(見右圖). 留下的多面體的表面積是________.

　　142.

　　大長方體的長、寬、高都大于2，否則所有的小正方體都在棱上，與題意不符. 140分解成3個大于2的自然數的乘積只有457，所以大長方體的長、寬、高分別是4，5，7，表面積是

　　(45+47+57)2=166.

　　拆下沿棱的小正方體后，對比原來的表面積，相當于每個面減少4或每個角減少3，表面積為

　　166-46=142 或 166-38=142.

　　整體思考的經典范例，一是從整體考慮前后表面積的變化關系，看變化可以簡化運算。

　　二是，如何看變化，本題可以用“陽光照面”法。

　　7. 在三位數中，個位、十位、百位都是一個數的平方的共有 個。

　　48

　　百位有1、4、9三種選擇，十位、個位有0、1、4、9四種選擇。滿足題意的三位數共有

　　3×4×4＝48（個）。

　　8. 老師在黑板上寫了一個自然數。第一個同學說：“這個數是2的倍數?！钡诙€同學說：“這個數是3的倍數?！钡谌齻€同學說：“這個數是4的倍數?！薄谑膫€同學說：“這個數是15的倍數?！弊詈?，老師說：“在所有14個陳述中，只有兩個連續的陳述是錯誤的。”老師寫出的最小的自然數是 。

　　60060

　　2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果這個數不是2，3，4，5，6，7的倍數，那么這個數也不是4，6，8，10，12，14的倍數，錯誤的陳述不是連續的，與題意不符。所以這個數是2，3，4，5，6，7的倍數。由此推知，這個數也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2×7）14，（3×5=）15的倍數。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是連續的，所以這個數不是8和9的倍數。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍數是22×3×5×7×11×13=60060。

　　12.小王和小李平時酷愛打牌，而且推理能力都很強。一天，他們和華教授圍著桌子打牌，華教授給他們出了道推理題。華教授從桌子上抽取了如下18張撲克牌：

　　紅桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5