全國高中數學聯賽模擬試題（五）
第一試
一、 選擇題：（每小題6分，共36分）
1、空間中n（n≥3）個平面，其中任意三個平面無公垂面．那么，下面四個
結論
（1） 沒有任何兩個平面互相平行；
（2） 沒有任何三個平面相交于一條直線； （3） 平面間的任意兩條交線都不平行；
（4） 平面間的每一條交線均與n 2個平面相交． 其中，正確的個數為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2、若函數y=f(x)在[a,b]上的一段圖像可以近似地看作直線段，則當c∈(a,b)
時，f(c)的近似值可表示為
（A）
f a f b
2
a b
（B）f
2
（C）
b c f a c a f b
b a（D）f a
c a
f b f a b a
3、設a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，則
（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能確定，與a、b的具體取值有關
x2y2 3
4、設橢圓2 2 1的離心率e ，已知點P 0, 到橢圓上的點的最遠
2ab 2 7
，則短半軸之長b= 4
1111
（A） （B） （C） （D）
48216
5、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，滿足：A中的所有元素可以組成等
差數列．那么，這樣的三元子集A的個數是
距離是
（A）C32003
22
（B）C1001 C1002
22
（C）A1001 A1002（D）A32003
6、長方體ABCD A1B1C1D1，AC1為體對角線．現以A為球心，AB、AD、AA1、AC1為半徑作四個同心球，其體積依次為V1、V2、V3、V4，則有 （A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能確定，與長方體的棱長有關
二、 填空題：（每小題9分，共54分）
sin3 cos3
1、已知 k，則k的取值范圍為 ．
sin cos 2、等差數列{an}的首項a1=8，且存在惟一的k使得點(k,ak)在圓x2+y2=102上，則這樣的等差數列共有 個．
a
3、在四面體P ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，則的取
b
值范圍為 ．
4、動點A對應的復數為z=4(cos +isin )，定點B對應的復數為2，點C為線段AB的中點，過點C作AB的垂線交OA與D，則D所在的軌跡方程為 ． 5、 3k被8所除得的'余數為 ．
k 12003
6、圓周上有100個等分點，以這些點為頂點組成的鈍角三角形的個數為．
三、 （20分）
已知拋物線y2=2px(p＞0)的一條長為l的弦AB．求AB中點M到y
軸的最短距離，并求出此時點M的坐標．
四、 （20分）
單位正方體ABCD A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心為點M，正方形A1B1C1D1的中心為點N，連AN、B1M． （1）求證：AN、B1M為異面直線； （2）求出AN與B1M的夾角．
五、 （20分）
對正實數a、b、c．求證：
a2 8bcb2 8acc2 8ab
≥9．
abc
第二試
一、 （50分）
設ABCD是面積為2的長方形，P為邊CD上的一點，Q為△PAB的內切圓與邊AB的切點．乘積PA·PB的值隨著長方形ABCD及點P的變化而變化，當PA·PB取最小值時， （1）證明：AB≥2BC； （2）求AQ·BQ的值．
二、 （50分）
給定由正整數組成的數列
a1 1,a2 2
（n≥1）．
an 2 an 1 an
（1）求證：數列相鄰項組成的無窮個整點
(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…
均在曲線x2+xy y2+1=0上．
（2）若設f(x)=xn+xn-1 anx an-1，g(x)=x2 x 1，證明：g(x)整除f(x)．
三、 （50分）
我們稱A1,A2,…,An為集合A的一個n分劃，如果 （1）A1 A2 An A； （2）Ai Aj ，1≤i＜j≤n．
求最小正整數m，使得對A＝{1,2,…,m}的任意一個13分劃A1,A2,…,A13，一定存在某個集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有兩個元素a、b
9
滿足b＜a≤b．
8
參考答案
第一試
二、填空題：
1 1
1、 1, ,1 ；
2 2
2、17；
2
x 1 4、
3、 2 3,1 ；
5、4；
4
y2
1； 3
6、117600．
l2 l2
,0 ,0 l 2p,M 8p8p
三、 ．
l ppl l p,l 2p,M 2
2,2 p 2
四、（1）證略；
五、證略．
（2）arccos
2． 3
第二試
一、（1）證略（提示：用面積法，得PA·PB最小值為2，此時∠APB＝90°）； （2）AQ·BQ=1．
二、證略（提示：用數學歸納法）．
三、m=117．
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