關于全國數學聯賽模擬題

　　全國數學聯賽模擬題

　　第一試

　　一、 選擇題（每小題6分，共36分）：

　　a2 x2

　　1f x 是奇函數的充要條件是

　　x a a

　　（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1 （C）a＞0 （D）a＜0

　　2 （A）點A在直線l上 （B）點B在直線l上 （C）點C在直線l上 （C）點A、B、C均不在直線l上 3，過頂點A在空間作直線l，使l與直線AC和BC所成的角1

　　都等于60°．這樣的直線l可以做

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　　（A）4條 （B）3條 （C）2條 （D）1條

　　100

　　4n C

　　200

　　（A）61 （C）83 （B）67 （D）97

　　5y f x

　　x 大值等于 （A）3 （B）4 （C）7 （D）8

　　6再染2個偶數2、4；再染4后面最鄰近的3個連續奇數5、7、9；再染9后面最鄰近的4個連續偶數10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連續奇數17、19、21、23、25．按此規則一直染下去，得到一紅色子數列1，2，第2003個數是 （A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006

　　二、 填空題（每小題9分，共54分）：

　　＋1)2，A為直角頂點，且|z|＝2．設集合M＝{m|zm∈R，m∈N

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　　2015全國數學聯賽模擬題

　　＝

　　1

　　，m∈M}．則集合P所有元素之和等于 m2

　　．

　　4

　　x2 2a2 2x a2 4a 7

　　0 222

　　x a 4a 5x a 4a 7

　　的解集是一些區間的并集，且這些區間的長度的和小于4，則實數a的取值范圍是 ．

　　計項目M有可能獲得19%到24%的年利潤，N有可能獲得29%到34%的年利潤．年終銀行必須回籠資金，同時按一定的回扣率支付給儲戶．為使銀行的年利潤不少于給M、N總投資的10%而不大于總投資的15%，則給儲戶的回扣率的最小值是 ．

　　2＋by2＝1在圓x2＋y2

　　的外部（包括二者相切的'情形）．那么，arcsinb的取值范圍

　　是 ．

　　6、同底的兩個正三棱錐內接于同一個球．已知兩個正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為R．設兩個正三棱錐的側面與底面所成的角分別為 、 ，則tan( ＋ )的值是 ．

　　三、 （20分）

　　△ABC的三邊長a、b、c（a≤b≤c）同時滿足下列三個條件 （i）a、b、c均為整數；

　　（ii）a、b、c依次成等比數列； （iii）a與c中至少有一個等于100．

　　求出(a,b,c)的所有可能的解．

　　四、 （20分）

　　在三棱錐D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求異面直線AD與BC所成的角．

　　五、 （20分）

　　設正系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根．證明： （1） max{a,b,c}≥