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數的整除問題奧數試題及答案

試題 時間:2021-08-31 手機版

  試問,能否將由1至100這100個自然數排列在圓周上,使得在任何5個相連的數中,都至少有兩個數可被3整除?如果回答:“可以”,則只要舉出一種排法;如果回答:“不能”,則需給出說明.

  考點:數的整除特征.

  分析:根據題意,可采用假設的方法進行分析,100個自然數任意的5個數相連,可以分成20個組,使得在任何5個相連的數中,都至少有兩個數可被3整除,那么會有40個數是3的.倍數,事實上在1至100的自然數中只有33個是3倍數,所以不能.

  解答:假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數,

  按所排列順序將它們每5個分為一組,可得20組,

  其中每兩組都沒有共同的數,于是,在每一組的5個數中都至少有兩個數是3的倍數.

  從而一共會有不少于40個數是3的倍數.但事實上在1至100的這100個自然數中只有33個數是3的倍數,

  導致矛盾,所以不能.

  答:不能.

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