角平分線課件

　　教學目標

　　【知識與技能】

　　1.會闡述角平分線的性質定理及其逆定理.

　　2.會應用角平分線定理及其逆定理證明兩條線段相等或兩個角相等.

　　【過程與方法】

　　1.經歷探索角平分線作法的過程,進一步體驗軸對稱的特點,發展空間觀察能力.

　　2.探索角平分線定理,培養學生認真探究、積極思考的能力.

　　【情感 、態度與價值觀】

　　1.體驗數學與生活的聯系,發展學生的空間觀念和審美觀.

　　2.活動與探究的過程可以更大程度地激發學生學習的主動性和積極性,使學生具有一些初步研究問題的能力.

　　重點難點

　　【重點】

　　角平分線的性質定理及其逆定理.

　　【難點】

　　理解并證明角平分線的性質定理及其逆定理.

　　教學過程

　　一、創設情境,導入新知

　　師:同學們知道怎樣作出角的平分線嗎?

　　生1:可以通過折紙得到一個角的平分線.

　　生2:也可以用量角器來畫一個角的平分線.

　　師:下面我們來學習用尺規作圖的方法作出∠AOB的平分線.

　　作法:

　　1.以O為圓心、任意長為半徑圓弧分別交OA、OB于點M、N,如圖(1).

　　2.分別以點M、N為圓心,以大于MN長為半徑在角的內部畫弧交于點P,如圖(2).

　　3.作射線OP,則OP為所要求作的∠AOB的平分線,如圖(3).

　　師:通過上面的作圖,啟發我們可以用尺規完成:“經過一點作已知直線的垂線.”

　　由于這一點可能在直線上或直線外,這個作圖要分兩種情況:

　　1.經過已知直線上的一點作這條直線的垂線.

　　已知:直線AB和AB上一點C,如圖(1).

　　求作:AB的垂線,使它經過點C.

　　作法:

　　作平角ACB的平分線CF.

　　直線CF就是所求的垂線.

　　2.經過已知直線外一點作這條直線的垂線.

　　已知:直線AB和AB外一點C,如圖(2).

　　求作:AB的垂線,使它經過點C.

　　作示:

　　(1)任意取一點K,使K和C在AB的兩旁;

　　(2)以點C為圓心、CK長為半徑作弧,交AB于點D和E;

　　(3)分別以點D和點E為圓心、大于DE的長為半徑作弧,兩弧交于點F;

　　(4)作直線CF.

　　直線CF就是所求的垂線.

　　教師邊操作邊講解:

　　用紙剪一個角,把紙片對折,使角的兩邊疊合在一起,再把紙片展開,你看到了什么?把對折的紙片繼續任意折一次,然后把紙片展開,又看到了什么?

　　學生操作.

　　師:從上面折紙中我們發現,紙片第一次對折后的折痕是什么?

　　生:是這個角的平分線.

　　師:你第二次折時出現的兩條折痕的長度之間有什么關系?

　　生:一樣長.

　　師:因為第二次我們是任意折的,所以這種等長的折痕能折出無數對.

　　二、共同探究,獲取新知

　　教師多媒體出示:

　　操作:(1)折出如上圖中的折痕PD、PE;

　　(2)你和同桌用三角板測量一下,檢測你們所折的折痕是否符合圖示的要求.

　　問題1:你能用文字語言闡述所畫圖形的性質嗎?

　　學生思考后回答.

　　問題2:根據命題“在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”用符號語言填寫下表:

　　圖形已知事項由已知事項推出的事項

　　OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分別為D、EPD=PE

　　(推證定理1)

　　問題3:根據下表中的圖形和已知事項,猜想由已知事項可推出的事項,并用符號語言填寫下表:

　　圖形已知事項由已知事項推出的事項

　　DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分別為E、C,DE=DC.∠DAE=∠DAC

　　問題4:用文字語言表述上表中的已知事項和由已知事項推出的事項.

　　(推證定理2)

　　三、練習新知,加深理解

　　師:下面我們接著來探討上面的'問題3.

　　教師多媒體出示:

　　(1)∵AD平分∠BAC,

　　DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)

　　∴DC=DE.(  )

　　(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)

　　∴點D在∠BAC的平分線上.(  )

　　學生思考后搶答,教師板書.

　　第1個括號中填“角平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等”,第2個括號中填“到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”.

　　教師多媒體出示:

　　【例1】 已知:如圖所示,∠C=∠C'=90°,AC=AC'.

　　求證:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)

　　學生思考后交流討論.

　　教師找一名學生板演,其余同學在下面做,然后集體訂正.

　　證明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)

　　∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定義)

　　又∵AC=AC',(已知)

　　∴點A在∠CBC'的角平分線上.(到一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上)

　　∴∠ABC=∠ABC'.

　　(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',

　　∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形內角和定理)

　　即∠BAC=∠ABC'.

　　∵BC⊥AC,BC'⊥AC',

　　∴BC=BC'.(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)

　　【例2】 已知:如圖,△ABC中,∠B、∠C的平分線BE、CF相交于點P.

　　求證:AP平分∠BAC.

　　證明:過點P分別作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分別為M、N、Q.

　　∵BE是∠B的平分線,點P在BE上,(已知)

　　∴PQ=PM.(角平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等)

　　同理PN=PM.

　　∴PN=PQ.(等量代換)

　　∴AP平分∠BAC.(到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上)

　　四、課堂小結

　　師:你今天學習了什么知識?有什么新的收獲?

　　學生回答,教師點評.

　　教學反思

　　本節課開頭設計的折紙和畫一畫的活動,旨在豐富學生對角平分線性質的感知,有利于學生借助直觀圖從而準確地用文字語言揭示角平分線的性質.由于部分學生常常把“過角平分線上一點向角兩邊畫垂線段”與“過角平分線上一點畫角平分線的垂線”混為一談,因此設計操作(1)、(2),為學生能正確畫出符合要求的圖形,從直觀上以及三角板的正確使用上都作了恰當的鋪墊,同時也為定理1的推理論證作準備.通過學生自己動后操作、自己推導、自己發現,從而得到角平分線的性質定理及其逆定理,充分發揮學生的探究意識,使學生在學習中體驗并掌握合作交流的學習方法,同時進一步鍛煉學生的數學語言表達能力,能寫出規范的證明過程.

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