從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。
教學(xué)目標(biāo)
【知識與技能】
1.會闡述角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.
2.會應(yīng)用角平分線定理及其逆定理證明兩條線段相等或兩個(gè)角相等.
【過程與方法】
1.經(jīng)歷探索角平分線作法的過程,進(jìn)一步體驗(yàn)軸對稱的特點(diǎn),發(fā)展空間觀察能力.
2.探索角平分線定理,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真探究、積極思考的能力.
【情感 、態(tài)度與價(jià)值觀】
1.體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生的空間觀念和審美觀.
2.活動與探究的過程可以更大程度地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性,使學(xué)生具有一些初步研究問題的能力.
重點(diǎn)難點(diǎn)
【重點(diǎn)】
角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.
【難點(diǎn)】
理解并證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.
教學(xué)過程
一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新知
師:同學(xué)們知道怎樣作出角的平分線嗎?
生1:可以通過折紙得到一個(gè)角的平分線.
生2:也可以用量角器來畫一個(gè)角的平分線.
師:下面我們來學(xué)習(xí)用尺規(guī)作圖的方法作出∠AOB的平分線.
作法:
1.以O(shè)為圓心、任意長為半徑圓弧分別交OA、OB于點(diǎn)M、N,如圖(1).
2.分別以點(diǎn)M、N為圓心,以大于MN長為半徑在角的內(nèi)部畫弧交于點(diǎn)P,如圖(2).
3.作射線OP,則OP為所要求作的∠AOB的平分線.
師:通過上面的作圖,啟發(fā)我們可以用尺規(guī)完成:“經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線.”
教師邊操作邊講解:
用紙剪一個(gè)角,把紙片對折,使角的兩邊疊合在一起,再把紙片展開,你看到了什么?把對折的紙片繼續(xù)任意折一次,然后把紙片展開,又看到了什么?
學(xué)生操作.
師:從上面折紙中我們發(fā)現(xiàn),紙片第一次對折后的折痕是什么?
生:是這個(gè)角的平分線.
師:你第二次折時(shí)出現(xiàn)的兩條折痕的長度之間有什么關(guān)系?
生:一樣長.
師:因?yàn)榈诙挝覀兪侨我庹鄣?所以這種等長的折痕能折出無數(shù)對.
二、共同探究,獲取新知
教師多媒體出示:
操作:
(1)折出如上圖中的折痕PD、PE;
(2)你和同桌用三角板測量一下,檢測你們所折的折痕是否符合圖示的要求.
問題1:你能用文字語言闡述所畫圖形的性質(zhì)嗎?
學(xué)生思考后回答.
問題2:根據(jù)命題“在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”用符號語言填寫下表:
圖形已知事項(xiàng)由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)
OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分別為D、EPD=PE
(推證定理1)
問題3:根據(jù)下表中的圖形和已知事項(xiàng),猜想由已知事項(xiàng)可推出的事項(xiàng),并用符號語言填寫下表:
圖形已知事項(xiàng)由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)
DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分別為E、C,DE=DC.∠DAE=∠DAC
問題4:用文字語言表述上表中的已知事項(xiàng)和由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).
(推證定理2)
三、練習(xí)新知,加深理解
師:下面我們接著來探討上面的問題3.
教師多媒體出示:
(1)∵AD平分∠BAC,
DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)
∴DC=DE.( )
(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)
∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.( )
學(xué)生思考后搶答,教師板書.
第1個(gè)括號中填“角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”,第2個(gè)括號中填“到角的兩邊距離相等的'點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”.
教師多媒體出示:
【例1】 已知:∠C=∠C'=90°,AC=AC'.
求證:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)
學(xué)生思考后交流討論.
教師找一名學(xué)生板演,其余同學(xué)在下面做,然后集體訂正.
證明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)
∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定義)
又∵AC=AC',(已知)
∴點(diǎn)A在∠CBC'的角平分線上.(到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上)
∴∠ABC=∠ABC'.
(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',
∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形內(nèi)角和定理)
即∠BAC=∠ABC'.
∵BC⊥AC,BC'⊥AC',
∴BC=BC'.(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等)
【例2】 已知:△ABC中,∠B、∠C的平分線BE、CF相交于點(diǎn)P.
求證:AP平分∠BAC.
證明:過點(diǎn)P分別作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分別為M、N、Q.
∵BE是∠B的平分線,點(diǎn)P在BE上,(已知)
∴PQ=PM.(角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)
同理PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代換)
∴AP平分∠BAC.(到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上)
四、課堂小結(jié)
師:你今天學(xué)習(xí)了什么知識?有什么新的收獲?
學(xué)生回答,教師點(diǎn)評.
教學(xué)反思
本節(jié)課開頭設(shè)計(jì)的折紙和畫一畫的活動,旨在豐富學(xué)生對角平分線性質(zhì)的感知,有利于學(xué)生借助直觀圖從而準(zhǔn)確地用文字語言揭示角平分線的性質(zhì).由于部分學(xué)生常常把“過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊畫垂線段”與“過角平分線上一點(diǎn)畫角平分線的垂線”混為一談,因此設(shè)計(jì)操作(1)、(2),為學(xué)生能正確畫出符合要求的圖形,從直觀上以及三角板的正確使用上都作了恰當(dāng)?shù)匿亯|,同時(shí)也為定理1的推理論證作準(zhǔn)備.通過學(xué)生自己動后操作、自己推導(dǎo)、自己發(fā)現(xiàn),從而得到角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理,充分發(fā)揮學(xué)生的探究意識,使學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)并掌握合作交流的學(xué)習(xí)方法,同時(shí)進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力,能寫出規(guī)范的證明過程.
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