三角函數的圖象與性質教學設計
●知識梳理
1.三角函數的圖象和性質
函 數
性 質=sinx=csx=tanx
定義域
值域
圖象
奇偶性
周期性
單調性
對稱性
注：讀者自己填寫.
2.圖象與性質是一個密不可分的整體，研究性質要注意聯想圖象.
●學生練習
1.函數=sin（ －2x）+sin2x的最小正周期是
A.2πB.πC. D.4π
解析：= cs2x－ sin2x+sin2x= cs2x+ sin2x=sin（ +2x），T=π.
答案：B
2.若f（x）sinx是周期為π的奇函數，則f（x）可以是
A.sinxB.csxC.sin2xD.cs2x
解析：檢驗.
答案：B
3.函數=2sin（ －2x）（x∈［0，π］）為增函數的區間是
A.［0， ］B.［ ， ］
C.［ ， ］D.［ ，π］
解析：由=2sin（ －2x）=－2sin（2x－ ）其增區間可由=2sin（2x－ ）的減區間得到，即2π+ ≤2x－ ≤2π+ ，∈Z.
∴π+ ≤x≤π+ ，∈Z.
令=0，故選C.
答案：C
4.把=sinx的圖象向左平移 個單位，得到函數____________的圖象；再把所得圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數____________的圖象.
解析：向左平移 個單位，即以x+ 代x，得到函數=sin（x+ ），再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即以 x代x，得到函數：=sin（ x+ ）.
答案：=sin（x+ ） =sin（ x+ ）
5.函數=lg（csx－sinx）的定義域是_______.
解析：由csx－sinx＞0 csx＞sinx.由圖象觀察，知2π－ ＜x＜2π+ （∈Z）.
答案：2π－ ＜x＜2π+ （∈Z）
●典例剖析
【例1】 （1）=csx+cs（x+ ）的最大值是_______；
（2）=2sin（3x－ ）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是_______.
剖析：（1）=csx+ csx－ sinx
= csx－ sinx= （ csx－ sinx）
= sin（ －x）.
所以ax= .
（2）T= ，相鄰對稱軸間的距離為 .
答案：
【例2】 （1）已知f（x）的定義域為［0，1），求f（csx）的定義域；
（2）求函數=lgsin（csx）的定義域.
剖析：求函數的定義域：（1）要使0≤csx≤1，（2）要使sin（csx）＞0，這里的csx以它的值充當角.
解：（1）0≤csx＜1 2π－ ≤x≤2π+ ，且x≠2π（∈Z）.
∴所求函數的定義域為{x｜x∈［2π－ ，2π+ ］且x≠2π，∈Z｝.
（2）由sin（csx）＞0 2π＜csx＜2π+π（∈Z）.又∵－1≤csx≤1，∴0＜csx≤1.故所求定義域為{x｜x∈（2π－ ，2π+ ），∈Z｝.
評述：求三角函數的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數線.
【例3】 求函數=sin6x+cs6x的最小正周期，并求x為何值時，有最大值.
剖析：將原函數化成=Asin（ωx+ ）+B的形式，即可求解.
解：=sin6x+cs6x=（sin2x+cs2x）（sin4x－sin2xcs2x+cs4x）=1－3sin2xcs2x=1－ sin22x= cs4x+ .
∴T= .
當cs4x=1，即x= （∈Z）時，ax=1.
深化拓展
函數=tan（ax+θ）（a＞0）當x從n變化為n+1（n∈Z）時，的值恰好由－∞變為+∞，則a=_______.
分析：你知道函數的周期T嗎?
答案：π
●闖關訓練
夯實基礎
1.若函數f（x）=sin（ωx+ ）的圖象（部分）如下圖所示，則ω和 的取值是
A.ω=1， = B.ω=1， =－
C.ω= ， = D.ω= ， =－
解析：由圖象知，T=4（ + ）=4π= ，∴ω= .
又當x= 時，=1，∴sin（ × + ）=1，
+ =2π+ ，∈Z，當=0時， = .
答案：C
2. f（x）=2cs2x+ sin2x+a（a為實常數）在區間［0， ］上的最小值為－4，那么a的值等于
A.4B.－6C.－4D.－3
解析：f（x）=1+cs2x+ sin2x+a
=2sin（2x+ ）+a+1.
∵x∈［0， ］，∴2x+ ∈［ ， ］.
∴f（x）的最小值為2×（－ ）+a+1=－4.
∴a=－4.
答案：C
3.函數= 的定義域是_________.
解析：－sin ≥0 sin ≤0 2π－π≤ ≤2π 6π－3π≤x≤6π（∈Z）.
答案：6π－3π≤x≤6π（∈Z）
4.函數=tanx－ctx的'最小正周期為____________.
解析：= － =－2ct2x，T= .
答案：
5.求函數f（x）= 的最小正周期、最大值和最小值.
解：f（x）=
= = （1+sinxcsx）
= sin2x+ ，
所以函數f（x）的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .
6.已知x∈［ ， ］，函數=cs2x－sinx+b+1的最大值為 ，試求其最小值.
解：∵=－2（sinx+ ）2+ +b，
又－1≤sinx≤ ，∴當sinx=－ 時，
ax= +b= b=－1；
當sinx= 時，in=－ .
培養能力
7.求使 = sin（ － ）成立的θ的區間.
解： = sin（ － ）
= （ sin － cs ） ｜sin －cs ｜=sin －cs
sin ≥cs 2π+ ≤ ≤2π+ （∈Z）.
因此θ∈［4π+ ，4π+ ］（∈Z）.
8.已知方程sinx+csx=在0≤x≤π上有兩解，求的取值范圍.
解：原方程sinx+csx= sin（x+ ）=，在同一坐標系內作函數1= sin（x+ ）與2=的圖象.對于= sin（x+ ），令x=0，得=1.
∴當∈［1， ）時，觀察知兩曲線在［0，π］上有兩交點，方程有兩解.
評述：本題是通過函數圖象交點個數判斷方程實數解的個數，應重視這種方法.
探究創新
9.已知函數f（x）=
（1）畫出f（x）的圖象，并寫出其單調區間、最大值、最小值；
（2）判斷f（x）是否為周期函數.如果是，求出最小正周期.
解：（1）實線即為f（x）的圖象.
單調增區間為［2π+ ，2π+ ］，［2π+ ，2π+2π］（∈Z），
單調減區間為［2π，2π+ ］，［2π+ ，2π+ ］（∈Z），
f（x）ax=1，f（x）in=－ .
（2）f（x）為周期函數，T=2π.
●思悟小結
1.三角函數是函數的一個分支，它除了符合函數的所有關系和共性外，還有它自身的屬性.
2.求三角函數式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數，且三角函數的次數為1的形式，否則很容易出現錯誤.
●教師下載中心
教學點睛
1.知識精講由學生填寫，起到回顧作用.
2.例2、例4作為重點講解，例1、例3誘導即可.
拓展題例
【例1】 已知sinα＞sinβ，那么下列命題成立的是
A.若α、β是第一象限角，則csα＞csβ
B.若α、β是第二象限角，則tanα＞tanβ
C.若α、β是第三象限角，則csα＞csβ
D.若α、β是第四象限角，則tanα＞tanβ
解析：借助三角函數線易得結論.
答案：Ｄ
【例2】 函數f（x）=－sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤ 對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍.
解：f（x）=－sin2x+sinx+a
=－（sinx－ ）2+a+ .
由1≤f（x）≤
1≤－（sinx－ ）2+a+ ≤
a－4≤（sinx－ ）2≤a－ .①
由－1≤sinx≤1 － ≤sinx－ ≤
（sinx－ ） = ，（sinx－ ） =0.
∴要使①式恒成立，
只需 3≤a≤4.
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