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高一數列知識點總結

總結 時間:2021-08-31 手機版

高一數列知識點總結

  數列是高一數學的重點,以下是小編整理的高一數列知識點總結,歡迎參考閱讀!

  求數列通項公式常用以下幾種方法:

  一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列,直接用其通項公式。

  例:在數列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求該數列的通項公式an。

  解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出數列{an}為a1=1,d=2的等差數列。所以an=2n—1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷,是較簡單的基礎小題。

  二、已知數列的前n項和,用公式

  S1 (n=1)

  Sn—Sn—1 (n2)

  例:已知數列{an}的前n項和Sn=n2—9n,第k項滿足5

  (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

  解:∵an=Sn—Sn—1=2n—10,∴5<2k—10<8 ∴k=8 選 (B)

  此類題在解時要注意考慮n=1的情況。

  三、已知an與Sn的關系時,通常用轉化的方法,先求出Sn與n的關系,再由上面的(二)方法求通項公式。

  例:已知數列{an}的'前n項和Sn滿足an=SnSn—1(n2),且a1=—,求數列{an}的通項公式。

  解:∵an=SnSn—1(n2),而an=Sn—Sn—1,SnSn—1=Sn—Sn—1,兩邊同除以SnSn—1,得———=—1(n2),而—=—=—,∴{—} 是以—為首項,—1為公差的等差數列,∴—= —,Sn= —,

  再用(二)的方法:當n2時,an=Sn—Sn—1=—,當n=1時不適合此式,所以,

  — (n=1)

  — (n2)

  四、用累加、累積的方法求通項公式

  對于題中給出an與an+1、an—1的遞推式子,常用累加、累積的方法求通項公式。

  例:設數列{an}是首項為1的正項數列,且滿足(n+1)an+12—nan2+an+1an=0,求數列{an}的通項公式

  解:∵(n+1)an+12—nan2+an+1an=0,可分解為[(n+1)an+1—nan](an+1+an)=0

  又∵{an}是首項為1的正項數列,∴an+1+an ≠0,∴—=—,由此得出:—=—,—=—,—=—,…,—=—,這n—1個式子,將其相乘得:∴ —=—,

  又∵a1=1,∴an=—(n2),∵n=1也成立,∴an=—(n∈N*)

  五、用構造數列方法求通項公式

  題目中若給出的是遞推關系式,而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時,可以考慮通過變形,構造出含有 an(或Sn)的式子,使其成為等比或等差數列,從而求出an(或Sn)與n的關系,這是近一、二年來的高考熱點,因此既是重點也是難點。

  例:已知數列{an}中,a1=2,an+1=(——1)(an+2),n=1,2,3,……

  (1)求{an}通項公式 (2)略

  解:由an+1=(——1)(an+2)得到an+1——= (——1)(an——)

  ∴{an——}是首項為a1——,公比為——1的等比數列。

  由a1=2得an——=(——1)n—1(2——) ,于是an=(——1)n—1(2——)+—

  又例:在數列{an}中,a1=2,an+1=4an—3n+1(n∈N*),證明數列{an—n}是等比數列。

  證明:本題即證an+1—(n+1)=q(an—n) (q為非0常數)

  由an+1=4an—3n+1,可變形為an+1—(n+1)=4(an—n),又∵a1—1=1,

  所以數列{an—n}是首項為1,公比為4的等比數列。

  若將此問改為求an的通項公式,則仍可以通過求出{an—n}的通項公式,再轉化到an的通項公式上來。

  又例:設數列{an}的首項a1∈(0,1),an=—,n=2,3,4……(1)求{an}通項公式。(2)略

  解:由an=—,n=2,3,4,……,整理為1—an=——(1—an—1),又1—a1≠0,所以{1—an}是首項為1—a1,公比為——的等比數列,得an=1—(1—a1)(——)n—1

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