雙曲線的簡單幾何性質的說課設計

　　一、教材分析

　　本節內容是人教社出版的全日制普通高級中學教科書（必修）《數學》第二冊（上）第八章第四節第一課時，屬于解析幾何領域的知識。由曲線方程研究曲線的幾何性質，是高中階段解析幾何所研究的主要問題之一。二次曲線:圓、橢圓、雙曲線、拋物線是解析幾何的主要研究對象，由于這四種曲線可以通過用不同的方式截圓錐得到，統稱為圓錐曲線，在學習時，要注意挖掘它們之間的內在聯系和區別，注意圓錐曲線之間的共同點與特殊性。本節課通過類比橢圓的簡單幾何性質,探究、歸納出雙曲線類似于橢圓的幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率），并且進一步探究出雙曲線獨有的幾何性質（實軸、虛軸、漸近線），為后續的拋物線的幾何性質的研究做好鋪墊。因此這節課在教材中起承上啟下的作用，是培養學生利用曲線方程討論曲線性質（即由數到形）的思想方法以及概括、歸納能力和邏輯思維能力的重要內容，對培養學生的探索精神和創新能力都有重要的意義。

　　二、學情分析與學生水平分析

　　1.學情分析：在此之前，學生已經學習了橢圓的簡單幾何性質，并且類比、推導、歸納出了雙曲線的標準方程，這節課將進一步研究、歸納出類似于橢圓幾何性質的雙曲線的幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率）和雙曲線獨有的.幾何性質（實軸、虛軸、漸近線）。通過對雙曲線性質的探究學習，可使學生在已有的知識結構基礎上拓展延伸，構建新知識體系；對由方程討論曲線性質（即由數到形）的思想方法有更深刻的認識。2.學生水平分析：我校學生是從全省各地招來的最優秀的學生，數學基礎扎實，自主學習能力較高。在本節課的學習中，可以發揮學生的主觀能動性，教師加以引導，完成本節課的教學。

　　三、教學目標

　　1.知識目標：使學生理解并初步掌握雙曲線的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）。

　　2.能力目標：培養學生利用曲線方程研究曲線性質的基本方法構建新知識體系；通過與橢圓幾何性質的對比來提高學生聯想、類比、歸納的能力。

　　3.德育目標：培養學生運用數形結合的數學思想和方法解決問題的能力。使學生在成功的體驗中獲得成就感，進而激發學生學習數學的興趣。

　　四、教學重點和難點

　　1.重點：本課主要內容是雙曲線的幾何性質，因此本課重點是引導學生探求雙曲線的幾何性質，并運用類比及數形結合的思想來解決數學問題。

　　2.難點：雙曲線的實軸和虛軸是區別于橢圓的長軸和短軸的概念，而漸進線的概念是雙曲線所特有的，且漸進線定義是解析幾何中第一次用極限的思想來進行證明，因此這些都是本節課的難點。

　　五、教學方法

　　1.教法：本節課主要采用引導發現法， 通過師（生）不斷地設（釋）疑 ，揭示思維過程，將學生置于主體位置，發揮學生的主觀能動性，將知識的形成過程轉化為學生親自探索、歸納的過程。

　　2.學法：鼓勵學生運用發現、探究、協作、討論的學習方法，聯系所學知識，大膽、主動地分析問題和解決問題，進一步提高自己的學習能力。

　　六、教學過程

　　活動流程

　　活動內容

　　目的

　　活動一：復習回顧

　　(提問學生)橢圓

　　的4個簡單的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率。

　　以舊引新，揭示課題。

　　活動二：探索研究

　　（提出問題）類比橢圓

　　的簡單幾何性質，雙曲線

　　是否具有類似的幾何性質：范圍、

　　對稱性、頂點、離心率？

　　（然后學生分組討論，給大約6分鐘時間）

　　已有知識結構的拓展延伸，借助于類比方法，激發學生學習數學的興趣。

　　活動三：討論歸納

　　（請其中一組學生派代表說討論結果，其他組同學派代表作補充，教師加以引導）雙曲線的4個簡單的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率。

　　（教師強調指出）實軸和虛軸區別于橢圓的長軸和短軸的概念；離心率 的范圍（ >1）。

　　逐步構建新知識體系，突破實軸和虛軸這兩個難點，為活動四做好鋪墊。

　　活動四：拓展探究

　　1.（提出問題）橢圓的離心率 是反映橢圓扁圓程度的量，雙曲線的離心率與雙曲線有何關系？

　　2.（啟發引導）由可發現： 越大， 越大；越小， 越小。

　　（引導學生考查 的幾何意義）是直線 斜率的絕對值。

　　從已有知識出發，層層設（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調動學生自身探索的內驅力，通過探究“雙曲線的離心率 與雙曲線有何關系？”這一問題，逐步引出雙曲線的漸近線，

　　活動四：拓展探究

　　3.（探究直線 與雙曲線的關系）回顧

　　軸， 軸是曲線 的漸近線，直線是正切函數

　　圖像的漸近線，猜想：直線 是雙曲線的漸近線。

　　活動四：拓展探究

　　（證明猜想）證明：雙曲線的各支向外延伸時，與直線 逐漸接近。（證明中強調極限思想的運用）

　　4．（回答1中提出的問題，說明離心率 的幾何意義）離心率 是反映雙曲線開口大小的量。

　　通過這一探究過程說明離心率與雙曲線開口之間的密切關系即離心率 的幾何意義。同時突破本節課的最后一個難點——漸近線。

　　活動五：課時小結

　　讓學生通過自我反思和互相質疑提問，歸納總結本節課的主要內容；強調雙曲線與橢圓幾何性質的相同或類似之處，理解它們的區別與聯系。

　　深化知識，完成新知識體系的構建。

　　活動六：布置作業

　　要求學生進一步類比探究焦點在軸上的雙曲線的幾何性質。

　　學以致用，用所學方法解決同類問題。

　　七、板書設計

　　4.1雙曲線的簡單幾何性質

　　一、復習：

　　二、探究：

　　三、思考：

　　分析：

　　四、猜想：

　　證明：

　　五、小結

　　六、作業

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