雙曲線的幾何性質數學教案設計

雙曲線的幾何性質（第1課時）

　　㈠課時目標

　　1．熟悉雙曲線的幾何性質。

　　2．能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。

　　3．能運用雙曲線的幾何性質或圖形特征，確定焦點的位置，會求雙曲線的標準方程。

　　㈡教學過程

　　[情景設置]

　　敘述橢圓 的幾何性質，并填寫下表：

　　方程

　　性質

　　圖像（略）

　　范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b

　　對稱性對稱軸、對稱中心

　　頂點（±a，0）、（±b，0）

　　離心率e=(幾何意義)

　　（三）探索研究

　　1．類比橢圓 的幾何性質，探討雙曲線 的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率。

　　雙曲線的實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長及離心率的定義。

　　雙曲線與橢圓的幾何性質對比如下：

　　方程

　　性質

　　圖像（略） （略）

　　范圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a，或x≤-a，y∈R

　　對稱性對稱軸、對稱中心對稱軸、對稱中心

　　頂點（±a，0）、（±b，0）（-a，0）、（a，0）

　　離心率0＜e=＜1

　　e=＞1

　　下面繼續研究離心率的幾何意義：

　　（a、b、c、e關系：c2=a2+b2， e=＞1）

　　2。漸近線的發現與論證

　　根據橢圓的上述四個性質，能較為準確地把 畫出來嗎？（能）

　　根據上述雙曲線的四個性質，能較為準確地把 畫出來嗎？（不能）

　　通過列表描點，能把雙曲線的頂點及附近的點，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。

　　我們能較為準確地畫出曲線y=，這是為什么？（因為當雙曲線伸向遠處時，它與x軸、y軸無限接近）此時，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。

　　問：雙曲線 有沒有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？

　　引導猜想：在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標準方程可解出：

　　y=± =±

　　當x無限增大時， 就無限趨近于零，也就是說，這是雙曲線y=±

　　與直線y=± 無限接近。

　　這使我們猜想直線y=± 為雙曲線的漸近線。

　　直線y=± 恰好是過實軸端點A1、A2，虛軸端點B1、B2，作平行于坐標軸的直線x=±a， y=±b所成的矩形的'兩條對角線，那么，如何證明雙曲線上的點沿曲線向遠處運動時，與漸近線越來越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。

　　證法1：如圖，設M（x0，y0）為第一象限內雙曲線 上的仍一點，則

　　y0= ，M（x0，y0）到漸近線ay-bx=0的距離為：

　　∣MQ∣= =

　　= ．

　　點M向遠處運動， x0隨著增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點就無限接近于 y=

　　故把y=± 叫做雙曲線 的漸近線。

　　3．離心率的幾何意義

　　∵e=，c＞a， ∴e＞1由等式c2-a2=b2，可得 ===

　　e越小（接近于1） 越接近于0，雙曲線開口越小（扁狹）

　　e越大 越大，雙曲線開口越大（開闊）

　　4．鞏固練習

　　求下列雙曲線的漸近線方程，并畫出雙曲線。

　　①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4

　　已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，分別求出過以下各點的雙曲線方程

　　①M（4， ） ②M（4， ）

　　[知識應用與解題研究]

　　例 1 求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。

　　例2 雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m，選擇適當的坐標系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）

　　㈣提煉總結

　　1。雙曲線的幾何性質及a、b、c、e的關系。

　　2。漸近線是雙曲線特有的性質，其發現證明蘊含了重要的數學思想與數學方法。

　　3。雙曲線的幾何性質與橢圓的幾何性質類似點和不同點。

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