雙曲線的幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)

教案時間：2021-08-31 手機(jī)版

雙曲線的幾何性質(zhì)（第1課時）

　　㈠課時目標(biāo)

　　1．熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)。

　　2．能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。

　　3．能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點(diǎn)的位置，會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　㈡教學(xué)過程

　　[情景設(shè)置]

　　敘述橢圓的幾何性質(zhì)，并填寫下表：

　　方程

　　性質(zhì)

　　圖像（略）

　　范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b

　　對稱性對稱軸、對稱中心

　　頂點(diǎn)（±a，0）、（±b，0）

　　離心率e=(幾何意義)

　　（三）探索研究

　　1．類比橢圓的幾何性質(zhì)，探討雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率。

　　雙曲線的實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長、虛半軸長及離心率的定義。

　　雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)對比如下：

　　方程

　　性質(zhì)

　　圖像（略）（略）

　　范圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a，或x≤-a，y∈R

　　對稱性對稱軸、對稱中心對稱軸、對稱中心

　　頂點(diǎn)（±a，0）、（±b，0）（-a，0）、（a，0）

　　離心率0＜e=＜1

　　e=＞1

　　下面繼續(xù)研究離心率的幾何意義：

　　（a、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2， e=＞1）

　　2。漸近線的發(fā)現(xiàn)與論證

　　根據(jù)橢圓的上述四個性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把畫出來嗎？（能）

　　根據(jù)上述雙曲線的四個性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把畫出來嗎？（不能）

　　通過列表描點(diǎn)，能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。

　　我們能較為準(zhǔn)確地畫出曲線y=，這是為什么？（因?yàn)楫?dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時，它與x軸、y軸無限接近）此時，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。

　　問：雙曲線有沒有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？

　　引導(dǎo)猜想：在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可解出：

　　y=± =±

　　當(dāng)x無限增大時，就無限趨近于零，也就是說，這是雙曲線y=±

　　與直線y=± 無限接近。

　　這使我們猜想直線y=± 為雙曲線的漸近線。

　　直線y=± 恰好是過實(shí)軸端點(diǎn)A1、A2，虛軸端點(diǎn)B1、B2，作平行于坐標(biāo)軸的直線x=±a， y=±b所成的矩形的'兩條對角線，那么，如何證明雙曲線上的點(diǎn)沿曲線向遠(yuǎn)處運(yùn)動時，與漸近線越來越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。

　　證法1：如圖，設(shè)M（x0，y0）為第一象限內(nèi)雙曲線上的仍一點(diǎn)，則

　　y0= ，M（x0，y0）到漸近線ay-bx=0的距離為：

　　∣MQ∣= =

　　= ．

　　點(diǎn)M向遠(yuǎn)處運(yùn)動， x0隨著增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點(diǎn)就無限接近于 y=

　　故把y=± 叫做雙曲線的漸近線。

　　3．離心率的幾何意義

　　∵e=，c＞a， ∴e＞1由等式c2-a2=b2，可得 ===

　　e越小（接近于1）越接近于0，雙曲線開口越小（扁狹）

　　e越大越大，雙曲線開口越大（開闊）

　　4．鞏固練習(xí)

　　求下列雙曲線的漸近線方程，并畫出雙曲線。