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高二數學選修4綜合復習題

試題 時間:2021-08-31 手機版

高二數學選修4綜合復習題

第一篇:《高二數學選修4》

  高二數學選修4-1《幾何證明選講》綜合復習題

  一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

  1.如圖4所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點,BC=3過C作

  圓的切線l,過A作l的垂線AD,垂足為D,則∠DAC =( )

  A.15? B.30? C.45? D.60?

  【解析】由弦切角定理得?DCA??B?60?,又AD?l,故?DAC?30?,

  第1題圖

  故選B.

  2.在Rt?ABC中,CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線,是該圖共有x個三角形與?ABC相似,則x?( )

  A.0 B.1 C.2 D.3

  【解析】2個:?ACD和?CBD,故選C.

  3.一個圓的兩弦相交,一條弦被分為12cm和18cm兩段,另一弦被分為3:8,則另一弦的長為( )

  66cm A.11cm B.33cm C.

  D.99cm

  【解析】設另一弦被分的兩段長分別為3k,8k(k?0,)由相交弦定理得3k?8k?12?1,8解得k?3,故所求弦長為3k?8k?11k?33cm.故選B. ABBCAC5???,若?ABC與 4.如圖,在?ABC和?DBE中,DBBEDE3D ?DBE的周長之差為10cm,則?ABC的周長為( )

  2550E A.20cm B.D.25cm cm C.cm 第4題圖 43

  【解析】利用相似三角形的相似比等于周長比可得答案D.

  5.O的割線PAB交O于A,B兩點,割線PCD經過圓心,已知

  22PA?6,PO?12,AB?,則O的半徑為( ) 3

  A.4 B

  .6 C

  .6

  D.8

  22【解析】設O半徑為r,由割線定理有6?(6?)?(12?r)(12?r),解得r?8.故3

  選D.

  6.如圖,AB是半圓O的直徑,點C在半圓上,CD?AB于點D,

  ?且AD?3DB,設?COD??,則tan2=( ) 2第6題圖 11 A. B. C

  .4? D.3 34

  31,從而【解析】設半徑為r,則AD?r,BD?r,由CD2?AD?

  BD得CD?22??1??,故tan2?,選A. 233

  7.在?ABC中,D,E分別為AB,AC上的點,且DE//BC,?ADE的面積是2cm2,

  梯形DBCE的面積為6cm2,則DE:BC的值為( ) A.

  B.1:2 C.1:3

  D.1:4

  【解析】?ADE?ABC,利用面積比等于相似比的平方可得答案B.

  8.半徑分別為1和2的兩圓外切,作半徑為3的圓與這兩圓均相切,一共可作

  ( )個.

  A.2 B.3

  C.4 D.5

  【解析】一共可作5個,其中均外切的2個,均內切的1個,一外切一內切的2個,故選D.

  9.如圖甲,四邊形ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4個這樣的

  等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形,

  則四邊形ABCD中?A度數為 ( )

  第9題圖 A.30? B.45? C.60? D.75?

  【解析】6?A?360?,從而?A?60?,選A.

  10.如圖,為測量金屬材料的硬度,用一定壓力把一個高強度鋼珠

  壓向該種材料的表面,在材料表面留下一個凹坑,現測得凹坑

  直徑為10mm,若所用鋼珠的直徑為26 mm,則凹坑深度為( )

  A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm

  【解析】依題意得OA2?AM2?OM2,從而OM?12mm,

  故CM?13?12?1mm,選A. 第10題圖

  212111.如圖,設P,Q為?ABC內的兩點,且AP?AB?AC,AQ=AB+AC,5534

  則?ABP的面積與?ABQ的面積之比為( )

  1411 B. C. D. 554321【解析】如圖,設AM?AB,AN?AC,則AP?AM?AN. 55 A. 第11題圖 由平行四邊形法則知NP//AB,所以1?ABPAN=, ?5?ABCAC

  ?ABQ1?ABP4?.故同理可得?,選B. ?ABC4?ABQ512.如圖,用與底面成30?角的平面截圓柱得一橢圓截線,則該橢圓的

  離心率為 ( )

  A.1 BC. D.非上述結論 2第12題圖

  【解析】用平面截圓柱,截線橢圓的短軸長為圓柱截面圓的直徑,弄清了這一概念,

  1考慮橢圓所在平面與底面成30?角,則離心率e?sin30??.故選A. 2

  二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.

  13.一平面截球面產生的截面形狀是_______;它截圓柱面所產生的截面形狀是________

  【解析】圓;圓或橢圓.

  14.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=720,⊙O過A、B兩點且

  與BC相切于點B,與AC交于點D,連結BD,若BC=?1,

  則AC=

  【解析】由已知得BD?AD?BC,BC?CD?AC?(AC?BC)AC,

  解得AC?2.

  15.如圖,AB為O的直徑,弦AC、BD交于點P,

  若AB?3,CD?1,則sin?APD=

  AD【解析】連結AD,則sin?APD?,又?CDP?BAP, APPDCD1??, 從而cos?APDPABA3所以sin?APD??. 316.如圖為一物體的軸截面圖,則圖中R的值

  第16題圖 是

  30【解析】由圖可得R2?()2?(180?135?R)2,解得R?25. 2

  三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

  17.(本小題滿分12分)

  如圖:EB,EC是O的兩條切線,B,C是切點,A,D是

  O上兩點,如果?E?46?,?DCF?32?,試求?A的度數.

  【解析】連結OB,OC,AC,根據弦切角定理,可得

  1 ?A??BAC??CAD?(180???E)??DCF?67??32??99?. 第17題圖 2

  18.(本小題滿分12分) OCDABP 如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,

  E為⊙O上一點,AE?AC,DE交AB于點F,且AB?2BP?4, 求PF的長度.

  【解析】連結OC,OD,OE,由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關系 F B O B2

  ? O D C 第 14 題圖 第18題圖 結合題中條件AE?AC可得?CDE??AOC,又?CDE??P??PFD, PFPD?AOC??P??C,從而?PFD??C,故?PFD?PCO,∴?, PCPOPC?PD12??3. 由割線定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?PO4

  19.(本小題滿分12分)

  F B C

  第19題圖

  已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,

  AB=DC,過點D作AC的平行線DE,交BA的延長線于

  點E.求證:(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC=AE·BD.

  【解析】證明:(1) ∵四邊形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB

  ∵AB=DC,BC=CB,∴△ABC≌△BCD

  (2)∵△ABC≌△BCD,∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB

  ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC

  ∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB ∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD=AE:CD, ∴DE·DC=AE·BD.

  20.(本小題滿分12分)

  如圖,△ABC中,AB=AC,AD是中線,P為AD上一點,CF∥AB,BP延長線交AC、CF于E、F,求證: PB2=PE?PF.

  【解析】連結PC,易證PC?PB,?ABP??ACP

  ∵CF//AB ∴?F??ABP,從而?F??ACP

  又?EPC為?CPE與?FPC的公共角,

  CPPE第20題圖 ?從而?CPE?FPC,∴ ∴PC2?PE?PF FPPC

  又PC?PB, ∴PB2?PE?PF,命題得證.

  21.(本小題滿分12分)

  如圖,A是以BC為直徑的O上一點,AD?BC過點B作O的切線,與CA的延長線相交于點E,G的中點,連結CG并延長與BE相交于點F,

  延長AF與CB的延長線相交于點P. (1)求證:BF?EF;

  (2)求證:PA是O的切線; 解答用圖 C

  (3)若FG?BF,且O

  的半徑長為求BD和FG的長度. 第21題圖

  【解析】(1)證明:∵BC是O的直徑,BE是O的切線, ∴EB?BC.又∵AD?BC,∴AD∥BE.

  易證△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC. BFCFEFCFBFEF∴???.∴. DGCGAGCGDGAG

  ∵G是AD的中點,∴DG?AG.∴BF?EF. (2)證明:連結AO,AB.∵BC是O的直徑,12選修數學高二

  在Rt△BAE中,由(1),知F是斜邊BE∴AF?FB?EF.∴?FBA??FAB.又∵OA?∵BE是O的切線,∴?EBO?90°.

  ∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°,∴PA是O的切線.

  (3)解:過點F作FH?AD于點H.∵BD?AD,FH?AD,∴FH∥BC. 由(1),知?FBA??BAF,∴BF?AF.12選修數學高二

  由已知,有BF?FG,∴AF?FG,即△AFG是等腰三角形. C

  HG1?. DG2

  ∵FH∥BD,BF∥AD,?FBD?90°,∴四邊形BDHF是矩形,BD?FH.

  FHFGHG∵FH∥BC,易證△HF∽△GD.∴,即??CDCGDG

  BDFG1HG. ??CDCG2DG

  BDBD1∵

  O的半徑長為

  ∴

  BC?∴???. CDBC?BD2

  FGHG1解

  得BD?

  .∴BD?FH?.∵,??CGDG2

  1∴FG?CG.∴CF?3FG. 2

  在Rt△FBC中,∵CF?3FG,BF?FG,由勾股定理,得CF2?BF2?BC2.

  .∴FG?3. ∴(3FG)2?FG2?2.解得FG?3(負值舍去)∵FH?AD,∴AH?GH.∵DG?AG,∴DG?2HG,即

  [或取CG的中點H,連結DH,則CG?2HG.易證△AFC≌△DHC,∴FG?HG,G?F2G,CF?3FG.D∥FB,故C由G易知△CDG∽△CBF,CDCG2FG2∴???.

  CBCF3FG3

  2?

  ,解得BD?Rt△CFB中,由勾股定理,得

  3.] (3FG)2?FG2?2,∴FG?3(舍去負值)

  22.(本小題滿分14分)

  ACBC?如圖1,點C將線段AB分成兩部分,如果,那么稱點C為線段AB.ABAC

  的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時,由黃金分割點聯想到“黃金分割線”,類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部

  SS分,這兩部分的面積分別為S1,S2,如果1?2,那么稱直線l為該圖形的黃金分SS1

  割線.

  (1)研究小組猜想:在△ABC中,若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分割線.你認為對嗎?為什么?

  (2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線?

  (3)研究小組在進一步探究中發現:過點C任作一條直線交AB于點E,再過點D作直線DF∥CE,交AC于點F,連接EF(如圖3),則直線EF也是△ABC的黃金分割線.請你說明理由.

  (4)如圖4,點E是ABCD的邊AB的黃金分割點,過點E作EF∥AD,交DC于點F,顯然直線EF是ABCD的黃金分割線.請你畫一條ABCD的黃金分割線,使它不經過ABCD各邊黃金分割點.

  第22題圖


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