高二數學選修4綜合復習題

第一篇:《高二數學選修4》

　　高二數學選修4-1《幾何證明選講》綜合復習題

　　一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

　　1.如圖4所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點,BC=3過C作

　　圓的切線l,過A作l的垂線AD,垂足為D,則∠DAC =( )

　　A.15? B.30? C.45? D.60?

　　【解析】由弦切角定理得?DCA??B?60?,又AD?l,故?DAC?30?,

　　第1題圖

　　故選B.

　　2.在Rt?ABC中,CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線,是該圖共有x個三角形與?ABC相似,則x?( )

　　A.0 B.1 C.2 D.3

　　【解析】2個:?ACD和?CBD,故選C.

　　3.一個圓的兩弦相交,一條弦被分為12cm和18cm兩段,另一弦被分為3:8,則另一弦的長為( )

　　66cm A.11cm B.33cm C.

　　D.99cm

　　【解析】設另一弦被分的兩段長分別為3k,8k(k?0,)由相交弦定理得3k?8k?12?1,8解得k?3,故所求弦長為3k?8k?11k?33cm.故選B. ABBCAC5???,若?ABC與 4.如圖,在?ABC和?DBE中,DBBEDE3D ?DBE的周長之差為10cm,則?ABC的周長為( )

　　2550E A.20cm B.D.25cm cm C.cm 第4題圖 43

　　【解析】利用相似三角形的相似比等于周長比可得答案D.

　　5.O的割線PAB交O于A,B兩點,割線PCD經過圓心,已知

　　22PA?6,PO?12,AB?,則O的半徑為( ) 3

　　A.4 B

　　.6 C

　　.6

　　D.8

　　22【解析】設O半徑為r,由割線定理有6?(6?)?(12?r)(12?r),解得r?8.故3

　　選D.

　　6.如圖,AB是半圓O的直徑,點C在半圓上,CD?AB于點D,

　　?且AD?3DB,設?COD??,則tan2＝( ) 2第6題圖 11 A. B. C

　　.4? D.3 34

　　31,從而【解析】設半徑為r,則AD?r,BD?r,由CD2?AD?

　　BD得CD?22??1??,故tan2?,選A. 233

　　7.在?ABC中,D,E分別為AB,AC上的點,且DE//BC,?ADE的面積是2cm2,

　　梯形DBCE的面積為6cm2,則DE:BC的值為( ) A.

　　B.1:2 C.1:3

　　D.1:4

　　【解析】?ADE?ABC,利用面積比等于相似比的平方可得答案B.

　　8.半徑分別為1和2的兩圓外切,作半徑為3的圓與這兩圓均相切,一共可作

　　( )個.

　　A.2 B.3

　　C.4 D.5

　　【解析】一共可作5個,其中均外切的2個,均內切的1個,一外切一內切的2個,故選D.

　　9.如圖甲,四邊形ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4個這樣的

　　等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形,

　　則四邊形ABCD中?A度數為 ( )

　　第9題圖 A.30? B.45? C.60? D.75?

　　【解析】6?A?360?,從而?A?60?,選A.

　　10.如圖,為測量金屬材料的硬度,用一定壓力把一個高強度鋼珠

　　壓向該種材料的表面,在材料表面留下一個凹坑,現測得凹坑

　　直徑為10mm,若所用鋼珠的直徑為26 mm,則凹坑深度為( )

　　A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm

　　【解析】依題意得OA2?AM2?OM2,從而OM?12mm,

　　故CM?13?12?1mm,選A. 第10題圖

　　212111.如圖,設P,Q為?ABC內的兩點,且AP?AB?AC,AQ＝AB＋AC,5534

　　則?ABP的面積與?ABQ的面積之比為( )

　　1411 B. C. D. 554321【解析】如圖,設AM?AB,AN?AC,則AP?AM?AN. 55 A. 第11題圖 由平行四邊形法則知NP//AB,所以1?ABPAN＝, ?5?ABCAC

　　?ABQ1?ABP4?．故同理可得?,選B. ?ABC4?ABQ512.如圖,用與底面成30?角的平面截圓柱得一橢圓截線,則該橢圓的

　　離心率為 ( )

　　A．1 BC． D．非上述結論 2第12題圖

　　【解析】用平面截圓柱,截線橢圓的短軸長為圓柱截面圓的直徑,弄清了這一概念,

　　1考慮橢圓所在平面與底面成30?角,則離心率e?sin30??.故選A. 2

　　二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.

　　13.一平面截球面產生的截面形狀是_______;它截圓柱面所產生的截面形狀是________

　　【解析】圓;圓或橢圓.

　　14.如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O過A、B兩點且

　　與BC相切于點B,與AC交于點D,連結BD,若BC＝?1,

　　則AC＝

　　【解析】由已知得BD?AD?BC,BC?CD?AC?(AC?BC)AC,

　　解得AC?2.

　　15.如圖,AB為O的直徑,弦AC、BD交于點P,

　　若AB?3,CD?1,則sin?APD=

　　AD【解析】連結AD,則sin?APD?,又?CDP?BAP, APPDCD1??, 從而cos?APDPABA3所以sin?APD??. 316.如圖為一物體的軸截面圖,則圖中R的值

　　第16題圖 是

　　30【解析】由圖可得R2?()2?(180?135?R)2,解得R?25. 2

　　三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

　　17.(本小題滿分12分)

　　如圖:EB,EC是O的兩條切線,B,C是切點,A,D是

　　O上兩點,如果?E?46?,?DCF?32?,試求?A的度數.

　　【解析】連結OB,OC,AC,根據弦切角定理,可得

　　1 ?A??BAC??CAD?(180???E)??DCF?67??32??99?. 第17題圖 2

　　18.(本小題滿分12分) OCDABP 如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,

　　E為⊙O上一點,AE?AC,DE交AB于點F,且AB?2BP?4, 求PF的長度.

　　【解析】連結OC,OD,OE,由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關系 F B O B2

　　? O D C 第 14 題圖 第18題圖 結合題中條件AE?AC可得?CDE??AOC,又?CDE??P??PFD, PFPD?AOC??P??C,從而?PFD??C,故?PFD?PCO,∴?, PCPOPC?PD12??3. 由割線定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?PO4

　　19.(本小題滿分12分)

　　F B C

　　第19題圖

　　已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,

　　AB＝DC,過點D作AC的平行線DE,交BA的延長線于

　　點E．求證：(1)△ABC≌△DCB (2)DE·DC＝AE·BD．

　　【解析】證明：(1) ∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB

　　∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD

　　(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB

　　∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC

　　∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC ∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB ∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD＝AE:CD， ∴DE·DC＝AE·BD.

　　20.(本小題滿分12分)

　　如圖,△ABC中,AB=AC,AD是中線,P為AD上一點,CF∥AB，BP延長線交AC、CF于E、F,求證: PB2=PE?PF．

　　【解析】連結PC,易證PC?PB,?ABP??ACP

　　∵CF//AB ∴?F??ABP,從而?F??ACP

　　又?EPC為?CPE與?FPC的公共角,

　　CPPE第20題圖 ?從而?CPE?FPC,∴ ∴PC2?PE?PF FPPC

　　又PC?PB, ∴PB2?PE?PF,命題得證.

　　21.(本小題滿分12分)

　　如圖,A是以BC為直徑的O上一點,AD?BC過點B作O的切線,與CA的延長線相交于點E，G的中點,連結CG并延長與BE相交于點F,

　　延長AF與CB的延長線相交于點P. (1)求證:BF?EF；

　　(2)求證:PA是O的切線； 解答用圖 C

　　(3)若FG?BF,且O

　　的半徑長為求BD和FG的長度. 第21題圖

　　【解析】(1)證明：∵BC是O的直徑，BE是O的切線， ∴EB?BC．又∵AD?BC，∴AD∥BE．

　　易證△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC． BFCFEFCFBFEF∴???．∴． DGCGAGCGDGAG

　　∵G是AD的中點，∴DG?AG．∴BF?EF． (2)證明：連結AO，AB．∵BC是O的直徑，12選修數學高二

　　在Rt△BAE中，由（1），知F是斜邊BE∴AF?FB?EF．∴?FBA??FAB．又∵OA?∵BE是O的切線，∴?EBO?90°．

　　∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是O的切線．

　　(3)解：過點F作FH?AD于點H．∵BD?AD，FH?AD，∴FH∥BC． 由(1)，知?FBA??BAF，∴BF?AF．12選修數學高二

　　由已知，有BF?FG，∴AF?FG，即△AFG是等腰三角形． C

　　HG1?． DG2

　　∵FH∥BD，BF∥AD，?FBD?90°，∴四邊形BDHF是矩形，BD?FH．

　　FHFGHG∵FH∥BC，易證△HF∽△GD．∴，即??CDCGDG

　　BDFG1HG． ??CDCG2DG

　　BDBD1∵

　　O的半徑長為

　　∴

　　BC?∴???． CDBC?BD2

　　FGHG1解

　　得BD?

　　．∴BD?FH?．∵，??CGDG2

　　1∴FG?CG．∴CF?3FG． 2

　　在Rt△FBC中，∵CF?3FG，BF?FG，由勾股定理，得CF2?BF2?BC2．

　?。郌G?3． ∴(3FG)2?FG2?2．解得FG?3（負值舍去）∵FH?AD，∴AH?GH．∵DG?AG，∴DG?2HG，即

　　［或取CG的中點H，連結DH，則CG?2HG．易證△AFC≌△DHC，∴FG?HG，G?F2G，CF?3FG．D∥FB，故C由G易知△CDG∽△CBF，CDCG2FG2∴???．

　　CBCF3FG3

　　2?

　　，解得BD?Rt△CFB中，由勾股定理，得

　　3．］ (3FG)2?FG2?2，∴FG?3（舍去負值）

　　22.(本小題滿分14分)

　　ACBC?如圖1,點C將線段AB分成兩部分,如果,那么稱點C為線段AB．ABAC

　　的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部

　　SS分,這兩部分的面積分別為S1,S2,如果1?2,那么稱直線l為該圖形的黃金分SS1

　　割線.

　　(1)研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎?為什么?

　　(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

　　(3)研究小組在進一步探究中發現：過點C任作一條直線交AB于點E,再過點D作直線DF∥CE,交AC于點F,連接EF(如圖3),則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．

　　(4)如圖4，點E是ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF∥AD，交DC于點F，顯然直線EF是ABCD的黃金分割線.請你畫一條ABCD的黃金分割線,使它不經過ABCD各邊黃金分割點.

　　第22題圖