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指數函數練習題

試題 時間:2021-08-31 手機版

  1.設y1=40.9,y2=80.48,y3=(12)-1.5,則(  )

  A.y3>y1>y2       B.y2>y1>y3

  C.y1>y2>y3   D.y1>y3>y2

  解析:選D.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,

  y3=(12)-1.5=21.5,

  ∵y=2x在定義域內為增函數,

  且1.8>1.5>1.44,

  ∴y1>y3>y2.

  2.若函數f(x)=ax,x>14-a2x+2,x≤1是R上的增函數,則實數a的取值范圍為(  )

  A.(1,+∞)   B.(1,8)

  C.(4,8)   D.[4,8)

  解析:選D.因為f(x)在R上是增函數,故結合圖象(圖略)知a>14-a2>04-a2+2≤a,解得4≤a<8.

  3.函數y=(12)1-x的單調增區間為(  )

  A.(-∞,+∞)   B.(0,+∞)

  C.(1,+∞)   D.(0,1)

  解析:選A.設t=1-x,則y=12t,則函數t=1-x的遞減區間為(-∞,+∞),即為y=121-x的'遞增區間.

  4.已知函數y=f(x)的定義域為(1,2),則函數y=f(2x)的定義域為________.

  解析:由函數的定義,得1<2x<20<x<1.所以應填(0,1).

  答案:(0,1)

  1.設13<(13)b<(13)a<1,則(  )

  A.aa<ab<ba   B.aa<ba<ab

  C.ab<aa<ba   D.ab<ba<aa

  解析:選C.由已知條件得0<a<b<1,

  ∴ab<aa,aa<ba,∴ab<aa<ba.

  2.若(12)2a+1<(12)3-2a,則實數a的取值范圍是(  )

  A.(1,+∞)   B.(12,+∞)

  C.(-∞,1)   D.(-∞,12)

  解析:選B.函數y=(12)x在R上為減函數,

  ∴2a+1>3-2a,∴a>12.

  3.下列三個實數的大小關系正確的是(  )

  A.(12011)2<212011<1   B.(12011)2<1<212011

  C.1<(12011)2<212011   D.1<212011<(12011)2

  解析:選B.∵12011<1,∴(12011)2<1,212011>20=1.

  4.設函數f(x)=a-|x|(a>0且a≠1),f(2)=4,則(  )

  A.f(-1)>f(-2)   B.f(1)>f(2)

  C.f(2)<f(-2)   D.f(-3)>f(-2)

  解析:選D.由f(2)=4得a-2=4,又a>0,∴a=12,f(x)=2|x|,∴函數f(x)為偶函數,在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.

  5.函數f(x)=12x+1在(-∞,+∞)上(  )

  A.單調遞減無最小值   B.單調遞減有最小值

  C.單調遞增無最大值   D.單調遞增有最大值

  解析:選A.u=2x+1為R上的增函數且u>0,

  ∴y=1u在(0,+∞)為減函數.

  即f(x)=12x+1在(-∞,+∞)上為減函數,無最小值.

  6.若x<0且ax>bx>1,則下列不等式成立的是(  )

  A.0<b<a<1   B.0<a<b<1

  C.1<b<a   D.1<a<b

  解析:選B.取x=-1,∴1a>1b>1,∴0<a<b<1.

  7.已知函數f(x)=a-12x+1,若f(x)為奇函數,則a=________.

  解析:法一:∵f(x)的定義域為R,且f(x)為奇函數,

  ∴f(0)=0,即a-120+1=0.

  ∴a=12.

  法二:∵f(x)為奇函數,

  ∴f(-x)=-f(x),

  即a-12-x+1=12x+1-a,解得a=12.

  答案:12

  8.當x∈[-1,1]時,f(x)=3x-2的值域為________.

  解析:x∈[-1,1],則13≤3x≤3,即-53≤3x-2≤1.

  答案:-53,1

  9.若函數f(x)=e-(x-u)2的最大值為m,且f(x)是偶函數,則m+u=________.

  解析:∵f(-x)=f(x),

  ∴e-(x+u)2=e-(x-u)2,

  ∴(x+u)2=(x-u)2,

  ∴u=0,∴f(x)=e-x2.

  ∵x2≥0,∴-x2≤0,∴0<e-x2≤1,

  ∴m=1,∴m+u=1+0=1.

  答案:1

  10.討論y=(13)x2-2x的單調性.

  解:函數y=(13)x2-2x的定義域為R,

  令u=x2-2x,則y=(13)u.列表如下:

  u=x2-2x

  =(x-1)2-1 y=(13)u

  y=(13)x2-2x

  x∈(-∞,1]

  x∈(1,∞)

  由表可知,原函數在(-∞,1]上是增函數,在(1,+∞)上是減函數.

  11.已知2x≤(14)x-3,求函數y=(12)x的值域.

  解:由2x≤(14)x-3,得2x≤2-2x+6,

  ∴x≤-2x+6,∴x≤2.∴(12)x≥(12)2=14,

  即y=(12)x的值域為[14,+∞).

  12.已知f(x)=(12x-1+12)x.

  (1)求函數的定義域;

  (2)判斷函數f(x)的奇偶性;

  (3)求證:f(x)>0.

  解:(1)由2x-1≠0,得x≠0,

  ∴函數的定義域為{x|x≠0,x∈R}.

  (2)在定義域內任取x,則-x在定義域內,

  f(-x)=(12-x-1+12)(-x)=(2x1-2x+12)(-x)

  =-1+2x21-2xx=2x+122x-1x,

  而f(x)=(12x-1+12)x=2x+122x-1x,

  ∴f(-x)=f(x),

  ∴函數f(x)為偶函數.

  (3)證明:當x<0時,由指數函數性質知,

  0<2x<1,-1<2x-1<0,

  ∴12x-1<-1,

  ∴12x-1+12<-12.

  又x<0,∴f(x)=(12x-1+12)x>0.

  由f(x)為偶函數,當x>0時,f(x)>0.

  綜上,當x∈R,且x≠0時,函數f(x)>0.

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