正多邊形的優秀教案

　　教學目標 ：

　　(1)使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定理;

　　(2)通過正多邊形定義教學，培養學生歸納能力;通過正多邊形與圓關系定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力;

　　(3)進一步向學生滲透特殊一般再一般特殊的唯物辯證法思想.

　　教學重點：

　　正多邊形的概念與的關系的第一個定理.

　　教學難點 ：

　　對定理的理解以及定理的證明方法.

　　教學活動設計：

　　(一)觀察、分析、歸納：

　　觀察、分析：1.等邊三角形的邊、角各有什么性質?

　　2.正方形的邊、角各有什么性質?

　　歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質的共同點.

　　教師組織學生進行，并可以提問學生問題.

　　(二)正多邊形的概念：

　　(1)概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個正多邊形有n(n3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形.

　　(2)概念理解：

　　①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形.(正三角形、正方形、正六邊形，.)

　　②矩形是正多邊形嗎?為什么?菱形是正多邊形嗎?為什么?

　　矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等.菱形不是正多邊形，因為角不一定相等.

　　(三)分析、發現：

　　問題：正多邊形與圓有什么關系呢?

　　發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同心圓.

　　分析：正三角形三個頂點把圓三等分;正方形的四個頂點把圓四等分.要將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形.要將圓六等分呢?

　　(四)多邊形和圓的關系的定理

　　定理：把圓分成n(n3)等份：

　　(1)依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形;

　　(2)經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.

　　我們以n=5的情況進行證明.

　　已知：⊙O中， ====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經過點A、B、C、D、E的⊙O的切線.

　　求證：(1)五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形;

　　(2)五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.

　　證明：(略)

　　引導學生分析、歸納證明思路：

　　弧相等

　　說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可以根據這個定理來判定，即：①依次連結圓的n(n3)等分點，所得的多邊形是正多迫形;②經過圓的n(n3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形.

　　(2)要注意定理中的依次、相鄰等條件.

　　(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正多邊形或根據它作正多邊形.

　　(五)初步應用

　　P157練習

　　1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?

　　2.求證：正五邊形的對角線相等.

　　3.如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內接和外切正五邊形.

　　(六)小結：

　　知識：(1)正多邊形的概念.(2)n等分圓周(n3)可得圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.

　　能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

　　(七)作業 教材P172習題A組2、3.

　　教學設計示例2

　　教學目標 ：

　　(1)理解正多邊形與圓的關系定理;

　　(2)理解正多邊形的對稱性和邊數相同的正多邊形相似的性質;

　　(3)理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念;

　　(4)通過正多邊形性質的教學培養學生的探索、推理、歸納、遷移等能力;

　　教學重點：

　　理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質定理.

　　教學難點 ：

　　對正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓的理解.

　　教學活動設計：

　　(一)提出問題：

　　問題：上節課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n3)圓周就可以得到的圓的內接正n邊形和圓的外切正n邊形.反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內切圓呢?

　　(二)實踐與探究：

　　組織學生自己完成以下活動.

　　實踐：1、作已知三角形的'外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點?半徑是什么?

　　2、作已知三角形的內切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點?半徑是什么?

　　探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內切圓有什么關系?

　　探究2：(1)正方形有外接圓嗎?若有外接圓的圓心在哪?(正方形對角線的交點.)

　　(2)根據正方形的哪個性質證明對角線的交點是它的外接圓圓心?

　　(3)正方形有內切圓嗎?圓心在哪?半徑是誰?

　　(三)拓展、推理、歸納：

　　(1)拓展、推理：

　　過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結OA、OB、OC、OD.

　　同理，點E在⊙O上.

　　所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O.

　　因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切.可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內切圓.

　　(2)歸納：

　　正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上

　　它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑.

　　其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑.

　　正五邊形的各頂點共圓.

　　正五邊形有外接圓.

　　圓心到各邊的距離相等.

　　正五邊形有內切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離.

　　照此法證明，正六邊形、正七邊形、正n邊形都有一個外接圓和內切圓.

　　定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.

　　正多邊形的外接圓(或內切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等.正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.正n邊形的每個中心角都等于 .