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對數函數課件

教案 時間:2021-08-31 手機版

  對數的定義:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN,讀作以a為底N的對數,其中a叫做對數的底數,N叫做真數。下面是小編分享給大家的對數函數課件,希望對大家有幫助。

  教學目標:

  使學生掌握對數形式復合函數的單調性的判斷及證明方法,掌握對數形式復合函數的奇偶性的判斷及證明方法,培養學生的數學應用意識;認識事物之間的內在聯系及相互轉化,用聯系的觀點分析問題、解決問題.

  教學重點:

  復合函數單調性、奇偶性的討論方法.

  教學難點:

  復合函數單調性、奇偶性的討論方法.

  教學過程:

  [例1]設loga23 <1,則實數a的取值范圍是

  A.0<a<23 B. 23 <a<1

  C.0<a<23 或a>1D.a>23

  解:由loga23 <1=logaa得

  (1)當0<a<1時,由y=logax是減函數,得:0<a<23

  (2)當a>1時,由y=logax是增函數,得:a>23 ,∴a>1

  綜合(1)(2)得:0<a<23 或a>1 答案:C

  [例2]三個數60.7,0.76,log0.76的大小順序是

  A.0.76<log0.76<60.7 B.0.76<60.7<log0.76

  C.log0.76<60.7<0.76 D.log0.76<0.76<60.7

  解:由于60.7>1,0<0.76<1,log0.76<0 答案:D

  [例3]設0<x<1,a>0且a≠1,試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的.大小

  解法一:作差法

  |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=| lg(1-x)lga |-| lg(1+x)lga |

  =1|lga| (|lg(1-x)|-|lg(1+x)|)

  ∵0<x<1,∴0<1-x<1<1+x

  ∴上式=-1|lga| [(lg(1-x)+lg(1+x)]=-1|lga| lg(1-x2)

  由0<x<1,得lg(1-x2)<0,∴-1|lga| lg(1-x2)>0,

  ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|

  解法二:作商法

  lg(1+x)lg(1-x) =|log(1-x)(1+x)|

  ∵0<x<1 ∴0<1-x<1+x

  ∴|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)11+x

  由0<x<1 ∴1+x>1,0<1-x2<1

  ∴0<(1-x)(1+x)<1 ∴11+x >1-x>0

  ∴0<log(1-x) 11+x <log(1-x)(1-x)=1

  ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|

  解法三:平方后比較大小

  ∵loga2(1-x)-loga2(1+x)=[loga(1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)]

  =loga(1-x2)loga1-x1+x =1|lg2a| lg(1-x2)lg1-x1+x

  ∵0<x<1,∴0<1-x2<1,0<1-x1+x <1

  ∴lg(1-x2)<0,lg1-x1+x <0

  ∴loga2(1-x)>loga2(1+x)

  即|loga(1-x)|>|loga(1+x)|

  解法四:分類討論去掉絕對值

  當a>1時,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|

  =-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)

  ∵0<1-x<1<1+x,∴0<1-x2<1

  ∴loga(1-x2)<0, ∴-loga(1-x2)>0

  當0<a<1時,由0<x<1,則有loga(1-x)>0,loga(1+x)<0

  ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|loga(1-x)+loga(1+x)|=loga(1-x2)>0

  ∴當a>0且a≠1時,總有|loga(1-x)|>|loga(1+x)|

  [例4]已知函數f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若f(x)的定義域為R,求實數a的取值范圍.

  解:依題意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0對一切x∈R恒成立.

  當a2-1≠0時,其充要條件是:

  a2-1>0△=(a+1)2-4(a2-1)<0 解得a<-1或a>53

  又a=-1,f(x)=0滿足題意,a=1不合題意.

  所以a的取值范圍是:(-∞,-1]∪(53 ,+∞)

  [例5]已知f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,比較f(x)與g(x)的大小

  解:易知f(x)、g(x)的定義域均是:(0,1)∪(1,+∞)

  f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=logx(34 x).

  ①當x>1時,若34 x>1,則x>43 ,這時f(x)>g(x).

  若34 x<1,則1<x<43 ,這時f(x)<g(x)

  ②當0<x<1時,0<34 x<1,logx34 x>0,這時f(x)>g(x)

  故由(1)、(2)可知:當x∈(0,1)∪(43 ,+∞)時,f(x)>g(x)

  當x∈(1,43 )時,f(x)<g(x)

  [例6]解方程:2 (9x-1-5)= [4(3x-1-2)]

  解:原方程可化為

  (9x-1-5)= [4(3x-1-2)]

  ∴9x-1-5=4(3x-1-2) 即9x-1-43x-1+3=0

  ∴(3x-1-1)(3x-1-3)=0 ∴3x-1=1或3x-1=3

  ∴x=1或x=2 經檢驗x=1是增根

  ∴x=2是原方程的根.

  [例7]解方程log2(2-x-1) (2-x+1-2)=-2

  解:原方程可化為:

  log2(2-x-1)(-1)log2[2(2-x-1)]=-2

  即:log2(2-x-1)[log2(2-x-1)+1]=2

  令t=log2(2-x-1),則t2+t-2=0

  解之得t=-2或t=1

  ∴log2(2-x-1)=-2或log2(2-x-1)=1

  解之得:x=-log254 或x=-log23

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