教學內容

　　1、一元二次方程求根公式的推導過程；

　　2、公式法的概念；

　　3、利用公式法解一元二次方程、

　　教學目標

　　理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程、

　　復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推導公式，并應用公式法解一元二次方程、

　　重難點關鍵

　　1、重點：求根公式的推導和公式法的應用、

　　2、難點與關鍵：一元二次方程求根公式法的推導、

　　教學過程

　　一、復習引入

　　（學生活動）用配方法解下列方程

　　（1）6x2—7x+1=0 （2）4x2—3x=52

　　（老師點評） （1）移項，得：6x2—7x=—1

　　二次項系數化為1，得：x2— x=—

　　配方，得：x2— x+（ ）2=— +（ ）2

　　（x— ）2=

　　x— =± x1= + = =1

　　x2=— + = =

　　（2）略

　　總結用配方法解一元二次方程的步驟（學生總結，老師點評）、

　　（1）移項；

　　（2）化二次項系數為1；

　　（3）方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方；

　　（4）原方程變形為（x+m）2=n的形式；

　　（5）如果右邊是非負數，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負數，則一元二次方程無解、

　　二、探索新知

　　如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題、

　　問題：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2—4ac≥0，試推導它的兩個根x1= ，x2=

　　分析：因為前面具體數字已做得很多，我們現在不妨把a、b、c也當成一個具體數字，根據上面的解題步驟就可以一直推下去、

　　解：移項，得：ax2+bx=—c

　　二次項系數化為1，得x2+ x=—

　　配方，得：x2+ x+（ ）2=— +（ ）2 即（x+ ）2=

　　∵b2—4ac≥0且4a2>0 ∴ ≥0

　　直接開平方，得：x+ =± 即x=

　　∴x1= ，x2=

　　由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定，因此：

　　（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b—4ac≥0時，將a、b、c代入式子x= 就得到方程的根、

　　（2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式、

　　（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法、

　　（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數根、

　　例1、用公式法解下列方程、

　　（1）2x2—4x—1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x—2）（3x—5）=0 （4）4x2—3x+1=0

　　分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公式即可、

　　解：（1）a=2，b=—4，c=—1

　　b2—4ac=（—4）2—4×2×（—1）=24>0

　　x= ∴x1= ，x2=

　　（2）將方程化為一般形式3x2—5x—2=0

　　a=3，b=—5，c=—2

　　b2—4ac=（—5）2—4×3×（—2）=49>0

　　x= x1=2，x2=—

　　（3）將方程化為一般形式3x2—11x+9=0

　　a=3，b=—11，c=9

　　b2—4ac=（—11）2—4×3×9=13>0

　　∴x= ∴x1= ，x2=

　　（3）a=4，b=—3，c=1

　　b2—4ac=（—3）2—4×4×1=—7<0

　　因為在實數范圍內，負數不能開平方，所以方程無實數根、

　　三、鞏固練習

　　教材P42 練習1、（1）、（3）、（5）

　　四、應用拓展

　　例2、某數學興趣小組對關于x的方程（m+1） +（m—2）x—1=0提出了下列問題、

　　（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程、

　　（2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出、

　　你能解決這個問題嗎？

　　分析：能、（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+1=2，同時還要滿足（m+1）≠0、

　　（2）要使它為一元一次方程，必須滿足：

　　① 或② 或③

　　解：（1）存在、根據題意，得：m2+1=2

　　m2=1 m=±1

　　當m=1時，m+1=1+1=2≠0

　　當m=—1時，m+1=—1+1=0（不合題意，舍去）

　　∴當m=1時，方程為2x2—1—x=0

　　a=2，b=—1，c=—1

　　b2—4ac=（—1）2—4×2×（—1）=1+8=9

　　x= x1=，x2=—

　　因此，該方程是一元二次方程時，m=1，兩根x1=1，x2=— 、

　　（2）存在、根據題意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0

　　因為當m=0時，（m+1）+（m—2）=2m—1=—1≠0

　　所以m=0滿足題意、

　　②當m2+1=0，m不存在、

　　③當m+1=0，即m=—1時，m—2=—3≠0

　　所以m=—1也滿足題意、

　　當m=0時，一元一次方程是x—2x—1=0，

　　解得：x=—1

　　當m=—1時，一元一次方程是—3x—1=0

　　解得x=—

　　因此，當m=0或—1時，該方程是一元一次方程，并且當m=0時，其根為x=—1；當m=—1時，其一元一次方程的根為x=— 、

　　五、歸納小結

　　本節課應掌握：

　　（1）求根公式的概念及其推導過程；

　　（2）公式法的概念；

　　（3）應用公式法解一元二次方程；

　　（4）初步了解一元二次方程根的情況、

　　六、布置作業

　　1、教材P45 復習鞏固4、

　　文章來

　　公式法教案文章來 2、選用作業設計：

　　一、選擇題

　　1、用公式法解方程4x2—12x=3，得到（ ）、

　　A、x= B、x= C、x= D、x=

　　2、方程 x2+4 x+6 =0的根是（ ）、

　　A、x1= ，x2= B、x1=6，x2= C、x1=2 ，x2= D、x1=x2=—

　　3、（m2—n2）（m2—n2—2）—8=0，則m2—n2的值是（ ）、

　　A、4 B、—2 C、4或—2 D、—4或2

　　二、填空題

　　1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，條件是________、

　　2、當x=______時，代數式x2—8x+12的值是—4、

　　3、若關于x的一元二次方程（m—1）x2+x+m2+2m—3=0有一根為0，則m的值是_____、

　　三、綜合提高題

　　1、用公式法解關于x的方程：x2—2ax—b2+a2=0、

　　2、設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，（1）試推導x1+x2=— ，x1·x2= ；（2）求代數式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值、

　　3、某電廠規定：該廠家屬區的每戶居民一個月用電量不超過A千瓦時，那么這戶居民這個月只交10元電費，如果超過A千瓦時，那么這個月除了交10元用電費外超過部分還要按每千瓦時 元收費、

　　（1）若某戶2月份用電90千瓦時，超過規定A千瓦時，則超過部分電費為多少元？（用A表示）

　　（2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況

　　月份 用電量（千瓦時） 交電費總金額（元）

　　3 80 25

　　4 45 10

　　根據上表數據，求電廠規定的A值為多少？

　　答案：

　　一、1、D 2、D 3、C

　　二、1、x= ，b2—4ac≥0 2、4 3、—3

　　三、1、x= =a±│b│

　　2、（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，

　　∴x1= ，x2=

　　∴x1+x2= =— ，

　　x1·x2= · =

　　（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的兩根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0

　　原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2

　　=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）=0

　　3、（1）超過部分電費=（90—A）· =— A2+ A

　　（2）依題意，得：（80—A）· =15，A1=30（舍去），A2=50

　　課后教學反思：_______________________________________________________________

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