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口香糖問題的趣味數學故事

故事 時間:2021-08-31 手機版

  需要多少錢?

口香糖問題的趣味數學故事

  第二個口香糖問題是第一個口香糖問題的簡單變化。可以用同樣的思路來解決。在這個問題中,取頭三個球可能是不同顏色――紅色、白色和藍色。這是沒有達到預想結果的最長排列,第四個球一定與前三個球中的一個相同。所以只要買4個球必能得到相同的一對球,瓊斯太太要準備4便士。

  總之,對于n組球,每組一種顏色,就應準備買n+1個球。第三個問題比較難,史密斯太太是三胞胎而不是雙胞胎,口香糖售貨機中有6個紅球,4個白球和1個藍球,她得花多少錢才能買到3個同樣的球?

  同上,我們首先要考慮最壞的情況,史密斯太太買到2個紅球,2個白球和唯一的藍球,總共5個紅球,第6個球肯定是紅球或白球。所以要使三胞胎都得到同樣顏色的球,答案是6便士。假如藍球不只一個,她每種顏色先抽2個,那么第7個球就能滿足三胞胎的要求。

  噢!關鍵在于最“壞”情形的長。有人可能想通過給這11個球標上字母來解決這個問題,然后檢查所有可能排列,看看在出現三個同樣球的排列中哪個是最長的。但是這種解決辦法需列出ll!=3931680O種排列,即使同樣顏色的.球不用字母區分,也要列出2310種排列。

  總之,要抽取k個同色球的方法如下:有n組球(每組一個顏色,每組至少k個),那么要得到k個同色球必須抽取n(k--1)+1個球。你肯定還想研究一組球或多組球的球數少于k的情形。

  這種問題的模式也能用于其它方面。例如,你要從52張牌中抽取7張同花色的牌,你要抽幾次?這里n=4,k=7,公式給出的答案是:4(7--1)+1=25。盡管這是些簡單的組合問題,但引出了有趣而復雜的概率問題。比如.你從n張牌中抽取7張牌(n從7到24),每次抽取后不再放回(顯然,假如抽的張數小于7概率為0,如抽取25張以上概率為1),同花色的概率是多少?如果抽取的牌再放回經冼脾后再抽概率又是多少?一個更難的問題是:無論牌是否放回,獲得同花色牌的期望值(概率的平均值)是多大呢?

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