不定積分的方法總結(jié)

　　不定積分在高等數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，不管是在教師資格考試還是教師招聘考試中都有出題，另外不定積分的學(xué)習(xí)為以后學(xué)習(xí)定積分計(jì)算打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以對(duì)于這方面的內(nèi)容，下面是小編精心收集的不定積分的方法總結(jié)，希望能對(duì)你有所幫助。

　　不定積分的方法總結(jié)

　　教學(xué)過(guò)程：

　　在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，我們不僅要用到求導(dǎo)數(shù)和微分，還要用到與求導(dǎo)數(shù)和微分相反的計(jì)算即積分運(yùn)算.也就是由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求原函數(shù),它是積分學(xué)的基本問(wèn)題之一-----求不定積分.

　　一、原函數(shù)

　　１．引例1：已知物體運(yùn)動(dòng)方程s s(t)，則其速度是物體位移s對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).反過(guò)來(lái),已知物體的速度v是時(shí)間t的函數(shù)v v(t),求物體的運(yùn)動(dòng)方程s s(t),使它的導(dǎo)數(shù)s (t)等于v v(t),這就是求導(dǎo)函數(shù)的逆運(yùn)算問(wèn)題.引例2:已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量P是時(shí)間t的函數(shù)P P(t),則該產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是產(chǎn)量P對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)P (t).反之,若已知某產(chǎn)量的變化率是時(shí)間t的函數(shù)P (t),求該產(chǎn)品產(chǎn)量函數(shù)P(t),也是一個(gè)求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算的問(wèn)題.

　　2.【定義5.1】（原函數(shù)）設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)．若存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，對(duì) x I均有F (x) f(x)ordF(x) f(x)dx,則稱F(x)為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù).

　　例如：由(sinx)  cosx知sinx是cosx的.一個(gè)原函數(shù)；又(sinx 5)  cosx,(sinx c)  cosx（c是常數(shù)），所以sinx 5,sinx c也都是函數(shù)cosx的一個(gè)原函數(shù).

　　再如：由(2x3)  6x2知2x是6x的一個(gè)原函數(shù)；32

　　(2x3 c)  6x2，所以2x3 c（c是常數(shù)）也是6x2的一個(gè)原函數(shù)．

　　注意：沒(méi)有指明區(qū)間時(shí)，應(yīng)默認(rèn)為區(qū)間就是函數(shù)定義域．

　　二、不定積分

　　1．原函數(shù)性質(zhì)

　　觀察上述例子知：函數(shù)的原函數(shù)不唯一，且有性質(zhì)

　　(1)若f(x) C(I),則f(x)存在I上的原函數(shù)F(x).

　　(2)若F(x)為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x) C都是f(x)的原函數(shù),其中C為任意常數(shù).

　　(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則

　　F(x) G(x) C.

　　證明：  F(x) G(x)

　　F (x) G (x) f(x) f(x) 0.

　　C R,   s.t.F(x) G(x) C.

　　(4)設(shè)F(x)為f(x)在I上的原函數(shù),則f(x)在I上全體原函數(shù)為F(x) C（其中C為任意常數(shù)）.2.【定義5.2】函數(shù)f(x)在I上的全體原函數(shù)稱為f(x)在I上的不定積分,記作 C R,s.t. f(x)dx.

　　即若F(x)為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù),則有 f(x)dx F(x) C,C為任意常數(shù).

　　說(shuō)明：(1) ---積分號(hào)；(2)f(x)---被積函數(shù)；

　　(3)f(x)dx----被積表達(dá)式.(4)x----積分變量.

　　3.結(jié)論：

　　①連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．

　　②f(x)若有原函數(shù),則有一簇原函數(shù).它們彼此只相差一個(gè)常數(shù).

　　提問(wèn)：初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是否有原函數(shù)？例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx）

　　（一定有原函數(shù)，但原函數(shù)不一定還是初等函數(shù).）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2

　　解（1）∵(x)  3x，∴32233xdx x C.

　　x6 x6

　　55（2）   C.  x,  xdx 6 6

　　例2求解1 1 x2dx.  arctanx   1,21 x

　　1 1 x2dx arctanx C.

　　1提問(wèn)： dx  arccotx C對(duì)嗎？1 x2

　　1例3求 dx.x

　　11解: (lnx)  ,  dx lnx C.xx

　　例4:某商品邊際成本為100 2x,則總成本函數(shù)為C(x)  (100 2x)dx 100x x2 C.

　　3．導(dǎo)數(shù)與不定積分的關(guān)系

　　f (x)dx f(x) C.

　　(1)* df(x) f(x) C.(1)

　　df(x)dx f(x). dx

　　(2)*d f(x)dx f(x)dx.(2)

　　可見(jiàn)：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.

　　提問(wèn):如何驗(yàn)證積分的結(jié)果是正確的?(積分的導(dǎo)數(shù)是被積函數(shù)時(shí)正確)

　　二、不定積分的幾何意義

　　如圖： f(x)dx F(x) C，

　　函數(shù)f(x)的不定積分表示

　　斜率為f(x)的原函數(shù)對(duì)應(yīng)的

　　一簇積分曲線.在同一點(diǎn)x0處

　　積分曲線簇的切線平行.

　　此曲線蔟可由F(x)沿y軸上下平行移動(dòng)而得到．積分曲線：函數(shù)f(x)原函數(shù)y F(x)的圖形稱為f(x)

　　的積分曲線.

　　不定積分的幾何意義：f(x)的不定積分是一簇積分曲線F(x) C.且在同一點(diǎn)x0處積分曲線簇的切線互相平行.

　　例5設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)P(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線為y f(x),依題意知

　　x2dy 2x,dx   2x,  2xdx x2 C,

　　2于是f(x) x C,

　　由f(1) 2 C 1,

　　所求曲線方程為y x 1.

　　提問(wèn)：如何驗(yàn)證積分的結(jié)果是正確的？（結(jié)果求導(dǎo)必須是被積函數(shù)）

　　小結(jié)：

　　１．F(x)為f(x)在I上的原函數(shù),則f(x)在I上全體原函數(shù)F(x) c為f(x)的不定積分，即2

　　f(x)dx F(x) c

　　２．注意當(dāng)積分號(hào)消失時(shí)常數(shù)ｃ產(chǎn)生．

　　３．熟記積分公式，注意將被積函數(shù)恒等變形后用公式計(jì)算不定積分．

　　課后記：存在的問(wèn)題不能正確理解幾何意義；計(jì)算錯(cuò)誤較多，找不對(duì)原函數(shù)，寫掉積分常數(shù)C.

　　【提問(wèn)】判斷下列結(jié)論是否正確

　　（不正確說(shuō)明理由）

　　(1)3dx 3x C.(2)xdx

　　(3)

　　515x C6   C.

　　(4) 1

　　x2  1x C.(5) 1

　　x lnx C.

　　(6) 5xdx 5xln5 C.

　　(7) 2exdx ex C.

　　(8) 2sinxdx  cosx C.(9) 1

　　1 x2dx arctanx c  arccotx C.

　　(10) sec2xdx tanx C.

　　(11) csc2xdx  cotx C.

　　(12)  arcsinx C  arccosx C.

　　(13) secxtanxdx secx C.

　　(12) cscxcotxdx  cscx C.

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