證明不等式的教學計劃

　　教學目標

　　1．掌握分析法證明不等式；

　　2．理解分析法實質——執果索因；

　　3．提高證明不等式證法靈活性.

　　教學重點 分析法

　　教學難點 分析法實質的理解

　　教學方法 啟發引導式

　　教學活動

　　（一）導入新課

　　（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評．

　　（學生活動）回答和思考教師提出的問題．

　　［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

　　［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

　　[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法．（板書課題）

　　設計意圖：復習已學證明不等式的方法．指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，

　　激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入本節課學習內容：用分析法證明不等式．

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評．幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系．投影分析法證明不等式的概念．

　　（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知．

　　[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式．

　　［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

　　［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？

　　［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

　　［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立．就是分析法的邏輯關系．

　　[投影]分析法證明不等式的概念．（見課本）

　　設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究．建立新的知識；分析法證明不等式．培養學習創新意識．

　　【例題示范、學會應用】

　　（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題．

　　（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．

　　例1 求證

　　[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法．

　　證明：（見課本）

　　[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難．此例中，我們很難想到從“”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此．

　　例2 已知：，求證：（用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？

　　［投影］證法一：因為，所以、去分母，化為，就是．由已知成立，所以求證的不等式成立．

　　證法二：欲證，因為 只需證， 即證， 即證 因為成立，所以成立．

　　（證法二正確，證法一錯誤．錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的'充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤．）

　　[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：

　　（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）

　　分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反．②用分析法證明時要注意書寫格式．分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是：

　　要證命題B為真，

　　只需證明為真，從而有……

　　這只需證明為真，從而又有…………

　　這只需證明A為真．

　　而已知A為真，故命題B必為真．

　　要理解上述格式中蘊含的邏輯關系．

　　[投影] 例3 證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大．

　　［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為，則周長為的圓的半徑為，截面積為；周長為的正方形邊長為，截面積為，所以本題只需證明：

　　證明：（見課本）

　　設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位．掌

　　握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系．靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力．

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正．點評練習中存在的問題．

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．

　　【字幕】練習1．求證

　　2．求證：

　　設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學．

　　【分析歸納、小結解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法．

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記．

　　1．分析法是證明不等式的一種常用基本方法．當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的．

　　2．用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式．

　　設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法．

　　（三）小結

　　（教師活動）教師小結本節課所學的知識．

　　（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．

　　本節課主要學習了用分析法證明不等式．應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：

　　通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等．在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質．另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用．理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面．有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程．

　　設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

　　（四）布置作業

　　1．課本作業：P17 4、5．

　　2．思考題：若，求證

　　3．研究性題：已知函數，，若、 ，且證明

　　設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題．

　　（五）課后點評

　　教學過程是不斷發現問題、解決問題的思維過程．本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決．一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務．總之，本節課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態．

　　本節課練中有講，講中有練，講練結合．在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化．教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法．

　　在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構．

　　作業答案：

　　思考題：．因為，故，所以成立．研究性題：令，，則：

　　故原不等式等價于由已知有．。所以上式等價于，即。所以又等價于．因為，上式成立，所以原不等式成立。

　　不等式的實際解釋

　　題目：不等式：是正數，且，則。可以給出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即個單位溶液中含有個單位的溶質，其濃度小于加入個單位溶質后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。

　　分析與解

　　1．先看問題中的不等式，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。

　　設地板面積為平方米，窗戶面積為平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的平方米，住宅的采光條件變好了。

　　2．是正數，不等式可以推出，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。

　　3．電阻串并聯。電阻值為、的電阻，串聯電阻為，并聯電阻為，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式。