中小學數學知識結構探究論文

　　新課標認為，數學知識包含客觀的數學事實和以之為載體的主觀活動經驗、思想方法和應用技能[1]。數學知識并非是現實的拷貝，而是對現實（包括人類己有知識）的邏輯建構，且往往都是看不見的。結構決定功能，因此，我們有必要考察數學知識的結構形式。

　　結構是“系統諸要素相對穩定的聯系方式”。數學知識的結構就是數學知識體系中各知識點的一種相對穩定的聯系形式。一個抽象的集合只不過是一組元素而己，無所謂結構，一但引入了一種聯系方式，就形成了一種結構。例如，實數集引入通常加法就形成了基本的代數結構一群。知識本身具有復雜的結構形態，同時在結構中顯現其特性。一方面，數學知識的結構，不是各組成部分的簡單排列和組合，而是受一整套內在規律支配，各部分以不可分割，不可簡化，互為補充的方式運作。這套規律超越并支配著知識結構的每一種表現形式，決定了結構的性質和功能，任何部分的意義由它和既定情景中其他部分之間的關系確定。例如，正數、負數和零組成實數域結構，它受到有序性、完備性的支配，獨立存在的一個實數沒有任何實際意義。另一方面，假如離開了知識的各種表現結構，知識便失去了自己存在的意義。人類對客觀世界的認識經歷了千百萬年，歷代數學家積累下來的數學知識浩如煙海。以數學知識的組織方式為邏輯范疇，可將數學知識結構分為四種類型：邏輯結構、認知結構、教材結構和教學結構。下面分別闡述其對中小學數學教育的作用。

1邏輯結構是數學知識系統的基礎

　　邏輯推斷是貫穿數學知識的主線。由公理出發并嚴格按邏輯規律構造的知識結構就是邏輯結構。數學知識的邏輯結構是非線性的樹狀結構，它的根在不停地向下延伸，它的枝葉在不停地向上生長，今天己成為一棵枝繁葉茂根深的參天大樹。

　　數學知識的邏輯結構以《幾何原本》為典范。公理化方法加強了似乎彼此相距很遠的那些數學領域之間的聯系，把某一領域得出的方法（結論）應用于與之同構的其他領域，從而獲得一系列重要成果。這種結構方法從個別推出一般，是非常經濟的思維。公理化思想方法不僅滲透到數學的每一個分支，而且影響到其余科學領域，它避免了“無限向前推”的情況，把人們的目光引到向后推一今后的發展上，類似數學這樣建立起的知識體系才是科學。按解釋法，幾何公理體系和實數公理體系的無矛盾性都可歸結為自然數算法的無矛盾性，但自然數算法的無矛盾性不可能用它自己內部形成的方法來證明，因此，數學中的公理化方法有一定的界限，數學知識的邏輯真實性也有一定的界限。于是，公理化方法在中學數學教學中的地位被逐漸削弱了，旨在讓學生體會公理化思想的過程。

　　傳統認為“‘數學是研宄數量關系和空間形式的科學”在現代數學中“數”和“形”需要在更加廣闊的意義下去理解！布爾巴基學派認為，數學是研宄形式結構的科學，數學各分支應能按結構性質來歸類和統一，具體地說就是，利用形式公理化方法抽象出各數學分支的各種結構，找出各分支之間的結構差異，從而獲得各分支之間內在關系的清晰圖象。即用結構的觀點來看待數學全局的每個分支。今天的數學己不再是彼此分開的章節所集合起來的一堆東西，而是一個巨大的相互聯系的結構體系。這些結構原來都是從三種“母結構”一代數結構、序結構、拓撲結構一脫胎出來的。由此可以形成各種子結構和多重結構。例如，實數域同為上述三種結構的多重結構。

2認知結構是學生學習的出發點和歸宿

　　所謂“認知結構”是指學科知識的實質性內容在學習者頭腦中的組織結構。這種知識結構是由學科知識的基本概念、原理、過程、思想方法以及它們之間的關系組成。數學學習是數學認知結構的組織（同化）和重新組織（順應）并形成新結構的過程，即是一個“再創造”過程。任何一門學科知識的學習就是在學生的頭腦中形成一定的知識結構。良好的認知結構不是知識點的簡單堆積，而是經個體理解并重新組織過的、穩定的、可利用的統一體。

　　兒童在入學之前很久，就因社會環境的作用而學會了數數，從而可以學會一些經驗性知識與準則。皮亞杰以他的朋友作為結構主義的范例：有一位數學家小時候對數學第一次發生興趣是因為一次偶然的游戲，他把一堆石子排成一行，發現無論從那端開始去數石子，石子總數都是一樣的。次序不在石子之中，正是他自己把石子排成一條線。總數不在石子之中，也正是他自己把它們合并在一起。石子總數表現了這一堆石子之間的數量關系。在這個例子中包含了數學事實、數學活動經驗、思想等。次序、總數等就其本身而言是沒有意義的，它的意義事實上由它和游戲中的其他因素所決定的。總之，任何數學事實或經驗的意義除非它被結合到結構（它是其中的組成部分）中去，否則便不能被人們感覺到。兒童在生活中下意識的排序、分類和玩幾何模型玩具等，是在為知識的形成提供理想的基礎，其可能就在構筑日后出現的集合論！學齡前兒童在十分狹窄的范圍內意識到或認識到數量、序列與拓撲。因此，我們必須讓兒童積極構筑個人技能與算術概念及邏輯概念的基礎，兒童今后的全部數學知識結構都將以此為基礎。

　　兒童在學校中主動地建構認知結構，數學教學應易于學生根據特定目標生成新的知識結構。如學習負數時，由生活中的收支盈虧問題引入，揭示盈虧的內在聯系，理解引入負數的必然性,從而建構新的認知結構,同時也是對原認知結構的進一步認識和理解，并得到重組。如圖1表示學生在學習過程中認知結構形成的一般過程：學習者首先下意識地將新知識納入原有認知結構--同化新知識，使認知結構的數量得到擴充，當原有認知結構不能同化新知識時，則必須改造或創建新的認知結構，才能和新知識相適應一順應，才能維持生物演化的平衡機制。

3教材結構體現了一定的社會價值標準

　　教材結構是指教材要素體系的框架結構。它反映了學習者認識客體的活動及進程。一般認為數學教材要素是知識點，而知識點由知識與技能（含事實、概念、原理、公式），過程與方法，情感、態度與價值觀三大部分組成。數學教材中，由知識點構成知識樹、知識網、知識塊和螺旋體等結構，并以有利于學生建構穩定的、可辨的和可利用的認知結構為首要標準。編寫教材不但要注重數學知識之間的邏輯關系，還應考慮表現數學知識的符號與客觀事物的聯系，以及與人的關系，從而實現教材對學生的教養、教育和發展功能。因此,教材結構當以一定的社會價值標準為基礎,提出某些標準作為教材建設的理論前提，使之成為編寫教材的依據，并研宄如何才能符合這些標準。用發展的眼光來看，中小學學生應學習將來最有價值的數學，教材就要回答“應該學什么”的問題。由于社會的多元化，教材也具有社會多元化特點，教材的典型代表教科書也應是多樣化的。

　　數學教材只是數學知識這座冰山露出水面的冰峰的一角，其顯著特點是不追求數學科學本身的完備性和覆蓋面，不要求公理體系的獨立性，此時，擴大了公理的數量，也不太要求嚴格的論證，這一點與數學史不謀而合。旦是，精確的定義、嚴密的演繹展開、幾乎沒有多余的文字敘述，用人為編造的內容情節來呈現知識，還是讓學生難于理解“淡化形式，注重實質”己經成為共識，力求把干巴巴的、符號化的學術形式演繹體系，轉化為生動活潑、有血有肉的教育數學形態，就是為了便于學生學習。新一輪基礎教育課程改革理念指導下所開發的教材，重心己從教師如何教，轉移到學生如何使用教材上，尋求學生心理發展與數學本身發展邏輯的整合，賦予教材中數學知識更多的社會價值觀，最終使學生明白學習數學的意義何在，價值在哪兒。