VanHiele思維層次對初中幾何教學(xué)的啟示論文
摘要:幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中不可或缺的重要內(nèi)容,我國義務(wù)教育新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)要在數(shù)學(xué)活動中學(xué)習(xí)幾何,即“做數(shù)學(xué)”,十分注重探索圖形性質(zhì)的過程。這篇文章以van Hiele思維層次理論為依據(jù),闡述了初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的思維發(fā)展過程,提出了一些促進(jìn)學(xué)生入門、提升學(xué)生幾何思維發(fā)展的教學(xué)策略和手段,并附上了一節(jié)幾何課的教學(xué)設(shè)計(jì)樣例。
關(guān)鍵詞:van Hiele思維層次;幾何;五步教學(xué)法
在小學(xué)里,學(xué)生主要依靠直覺思維來解決有關(guān)圖形的問題,進(jìn)入中學(xué)后,學(xué)生開始正式的幾何學(xué)習(xí),初步接觸到幾何邏輯證明時,往往感到困難。這其中的原因并不絕對是學(xué)生的“懶惰”或者先天智商不高,而是學(xué)生的思維發(fā)展是一個循序漸進(jìn)的過程,如果學(xué)生陡然遇到超過他們的思維理解能力的教學(xué)內(nèi)容,那么他們會無法跟上。這就需要教師研究中學(xué)生的幾何思維發(fā)展過程,針對學(xué)生的具體水平設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué),引導(dǎo)學(xué)生一步步經(jīng)歷和完成各階段的學(xué)習(xí),從而逐漸提高學(xué)生的思維水平。
一、Van Hiele幾何思維層次
1957年,荷蘭數(shù)學(xué)教育學(xué)家Dina van Hiele-Geldof和Pierre van Hiele提出了幾何思維層次理論(Van Hiele levels)。他們將學(xué)生的幾何思維發(fā)展分為逐級升高的五個層次:
層次1:視覺期(Visual)。學(xué)生僅憑視覺整體印象來辨認(rèn)基本圖形,直接將概念鏈接到門、籃球等具體模型;
層次2:描述期(Analysis)。學(xué)生能依據(jù)操作經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識到圖形的性質(zhì),但不理解性質(zhì)之間的關(guān)系,不能區(qū)別充分和必要條件,也不能將圖形分類;
層次3:關(guān)系期(Abstract/Informal Deduction)。學(xué)生接受并能使用定義,能認(rèn)識圖形之間和性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系,能作一些簡單的非正式的推理,但不能形式化地區(qū)別命題和逆命題;
層次4:推理期(Deduction)。學(xué)生不再死記硬背,確信必須經(jīng)過正式的邏輯推理才能建立定理,能建構(gòu)證明過程;
層次5:公理期(Rigor)。學(xué)生能夠理解幾何體系及抽象性,能夠在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ聿⑶曳治觥⒈容^這些系統(tǒng)。
Van Hiele認(rèn)為:各層次的發(fā)展是循序漸進(jìn)的,若要成功發(fā)展某一特定層次,必須先具備前一層次的概念和思維策略;思維層次的進(jìn)步更依賴于教學(xué),而非年齡的增長;沒有一種教學(xué)法能讓學(xué)生跳過某一層次而直接達(dá)到下一層次;某一層次的討論對象可變成下一層次的研究對象;每一層次都有自己獨(dú)特的語言符號及關(guān)系系統(tǒng),同樣的名詞在不同層次所代表的概念可能不同。所以,最重要的是:教學(xué)必須配合學(xué)生的思維層次。
顯然,剛從小學(xué)升入初中的學(xué)生的思維層次大多是層次1或2,這時數(shù)學(xué)教師的任務(wù)是促進(jìn)學(xué)生“入門”,使學(xué)生經(jīng)歷能提升其幾何思維層次的教學(xué),做好兩個學(xué)段幾何學(xué)習(xí)的銜接。
二、促進(jìn)初中生幾何思維發(fā)展的`教學(xué)策略
以講授和記憶為主的、對學(xué)生的學(xué)習(xí)要求一刀切的教學(xué)不能導(dǎo)致有效的學(xué)習(xí),經(jīng)驗(yàn)、操作、討論和反思才能幫助學(xué)生發(fā)展思維層次。具體地說:
1.教師應(yīng)評估學(xué)生的幾何思維水平,給思維層次不同的學(xué)生安排不同的學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)角色,使學(xué)生接受適合自身經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)任務(wù),并互相促進(jìn)。新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出“教師要及時了解并尊重學(xué)生的個體差異,滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要。教學(xué)中要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化,尊重學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平”。所以對于基礎(chǔ)很弱的學(xué)生,應(yīng)該從層次1起步。如果教師盲目地將不契合學(xué)生的思維水平的學(xué)習(xí)內(nèi)容提供給學(xué)生,就會造成學(xué)生聽不懂,繼而死記硬背,最后喪失學(xué)習(xí)興趣的后果。
2.教師應(yīng)給學(xué)生提供探索和運(yùn)用的機(jī)會,讓學(xué)生獲得在每一階段應(yīng)有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展對概念和性質(zhì)的理解,從而逐級提高思維層次。在學(xué)習(xí)幾何概念時,應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)識圖形,再分析圖形的特征,再發(fā)現(xiàn)圖形之間的關(guān)系,最后作簡單的推理證明這樣一個循序漸進(jìn)的過程。例如在學(xué)習(xí)矩形時,先由學(xué)生作圖,說明該圖形是矩形的理由,歸納矩形的定義,通過測量發(fā)現(xiàn)性質(zhì),明確矩形也是平行四邊形的一種,再反過來,用幾何畫板工具提供一個普通的凸四邊形和一個平行四邊形給學(xué)生,讓他們拖動鼠標(biāo),分別找出四邊形和平行四邊形成為矩形應(yīng)具備的條件。
3.教師應(yīng)該給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)臋C(jī)會進(jìn)行討論。在幾何學(xué)習(xí)中,語言起十分重要的作用,學(xué)生通過說、聽和讀來明晰和發(fā)現(xiàn)自己的觀點(diǎn),從而獲得知識,所以應(yīng)提供動態(tài)的教室學(xué)習(xí)環(huán)境和適合學(xué)生積極參與、討論、描述、示范的問題情境,使學(xué)生交談,分享發(fā)現(xiàn),質(zhì)疑,確認(rèn),形成書面表達(dá)。每一個層次都有自己的語言風(fēng)格和解釋方式,對于層次1的學(xué)生要鼓勵他們用非正式語言分類、列舉和辨析,對于層次2的學(xué)生要通過問題和活動引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)關(guān)系,總結(jié)定義,對于層次3的學(xué)生要鼓勵他們口頭解決問題并說出推理依據(jù)。
三、“五步教學(xué)法”促進(jìn)初中生幾何思維層次發(fā)展
Van Hieles夫婦推薦在特定的幾何概念學(xué)習(xí)中使用五步教學(xué)法來提升學(xué)生的思維水平:
1.學(xué)前咨詢(Information):在教學(xué)之前,教師通過觀察與發(fā)問,了解學(xué)生已具備哪些知識,以作為教學(xué)準(zhǔn)備與參考。在對話中及時引入主題、學(xué)習(xí)目標(biāo),提出問題。重點(diǎn):雙向溝通。
2.引導(dǎo)學(xué)習(xí)方向(Guided orientation):教師布置簡短的任務(wù)(問題或作業(yè)),使學(xué)生探究所要研究的領(lǐng)域,并了解研究的進(jìn)一步方向。這些任務(wù)大都要求學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,使用排列、組合、積木、折紙、畫圖等操作方式進(jìn)行探索。例如:讓學(xué)生沿對角線折疊菱形,然后問他們有什么發(fā)現(xiàn)。在這種有計(jì)劃的引導(dǎo)過程中,主題所包含的概念、性質(zhì)和關(guān)系逐漸變得明確。重點(diǎn):任務(wù)操作。
3.整合(Integration):使學(xué)生總結(jié)所學(xué)的幾何概念、知識點(diǎn)和方法,形成知識網(wǎng)絡(luò),并在作業(yè)和其他任務(wù)中進(jìn)一步理解和運(yùn)用,在此過程中,學(xué)生也獲得了相關(guān)解決問題的方法的經(jīng)驗(yàn)。重點(diǎn):總結(jié),再運(yùn)用。
例如:人教版七年級上學(xué)期“第四章4.2線段,射線,直線”中的概念教學(xué)設(shè)計(jì):
A.導(dǎo)入新課(雙向溝通)
提出問題:生活中,你見過線段、射線、直線嗎?(學(xué)前咨詢)
(由學(xué)生列舉,教師板書,但不急于指明是否準(zhǔn)確)(留下疑問)
指明學(xué)習(xí)目標(biāo)(使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo))
1.理解和區(qū)別線段、射線、直線的概念;
2.會用符號表示線段、射線、直線;
3.理解公理“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”。
指明學(xué)習(xí)方法:(使學(xué)生作好學(xué)習(xí)準(zhǔn)備)
作圖、討論(希望同學(xué)們踴躍發(fā)言,提出觀點(diǎn)和看法)
B.新課探索(任務(wù)操作)
1.請你在紙上用直尺和鉛筆分別作出你心目中的線段、射線、直線;強(qiáng)化視覺然后向你的同伴解釋一下哪個是線段,哪個是直線,哪個是射線。并且告訴他你根據(jù)什么來區(qū)分三者?(描述,解釋)
2.找一對同伴到黑板作圖和解釋根據(jù)什么區(qū)分三者。(分享,表達(dá))
C.學(xué)習(xí)新課(口頭表達(dá)、書面表達(dá))
(一)認(rèn)識線段、射線、直線(解說)
1.線段:圖形,表示方法,實(shí)例,特點(diǎn)。
2.射線:圖形,表示方法,實(shí)例,特點(diǎn)。
3.直線:圖形,表示方法,實(shí)例,特點(diǎn)。
請你想一想:生活中,還有哪些物體可以近似地看作線段、射線、直線?
(發(fā)散思維)
請回頭查一查:課前提出的幾個生活中的實(shí)例是否符合這些定義?(現(xiàn)實(shí)生活中嚴(yán)格意義的直線較難看到)(收斂思維)
用表格歸納三者之間的聯(lián)系及表達(dá)方式。(由學(xué)生填)(歸納,用圖表強(qiáng)化記憶)
觀察表格,說說有哪些值得注意的地方?(由學(xué)生說)(學(xué)習(xí)使用規(guī)范的語言)
(寫清線的名稱;直線與線段的表示方法基本相同;射線的端點(diǎn)必須寫在前面)
D.自由探索(運(yùn)用)
1.作圖練習(xí)(自由探索,累積經(jīng)驗(yàn))
(1)作直線MN,在直線MN上任取一點(diǎn)C;這樣的點(diǎn)可以取多少個?
(理解直線上有無數(shù)個點(diǎn))
(2)作線段AB,先延長AB,再延長BA;線段AB與直線AB是什么關(guān)系?
(理解線段是直線的一部分)
(3)作線段CD,再反向延長線段CD;線段CD與射線DC是什么關(guān)系?(理解線段與射線的關(guān)系)
(4)作射線OK,再反向延長射線OK。射線OK與直線OK是什么關(guān)系?(理解射線是直線的一部分)
板書:線段,射線都是直線的一部分。(整合“關(guān)系”)
2.作圖說話(再運(yùn)用)
(1)作直線MN,在直線MN上任取兩點(diǎn)A,B,你在圖中找到了幾條線段?
(因?yàn)榫€段無方向,所以線段AB就是線段BA)
(2)作直線MN,在直線MN上任取三點(diǎn)A,B,C,你在圖中找到了幾條線段?
(端點(diǎn)不同,線段不同)
(3)在直線MN上任取四點(diǎn)A,B,C,D,你又在圖中找到了幾條線段?
(4)順著這個思路,你能給大家出下一問嗎?
(在直線MN上任取n個點(diǎn),你能找到幾條線段?)
E.小結(jié):線段、射線、直線的概念。(整合)
F.作業(yè):課本132頁第4題。(再運(yùn)用)
這個教學(xué)設(shè)計(jì)將一個主題的學(xué)習(xí)過程分成“操作,觀察,表達(dá),辨析,歸納”五個流程,充分調(diào)動學(xué)生的視覺、語言表達(dá)能力,在操作、觀察、表達(dá)和交流活動中來體會、感受概念之間的關(guān)系。
van Hiele思維層次或許仍有爭議或者有其不完善的方面,但是其提倡從學(xué)生的視覺、語言表達(dá)、動手操作、探索概念間的關(guān)系、整合等多角度來完成幾何教學(xué),使學(xué)生逐步形成概念網(wǎng)絡(luò),養(yǎng)成“說理有據(jù)”的態(tài)度和勇于交流討論的精神,體會到探索幾何概念和性質(zhì)的樂趣,這對剛?cè)腴T學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的教學(xué)指導(dǎo)意義是不言而喻的,希望這篇論文所提出的建議能給數(shù)學(xué)教師以參考,使幾何教學(xué)更加有趣、有效。
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