高二上冊數學算法案例教學計劃
【課程分析】：
在前面的兩節(jié)里，我們已經學習了一些簡單的算法，對算法已經有了一個初步的了解。這節(jié)課的內
容是繼續(xù)加深對算法的認識，體會算法的思想。這節(jié)課所學習的輾轉相除法與更相減損術是第三節(jié)我們所要學習的四種算法案例里的第一種。學生們通過本節(jié)課對中國古代數學中的算法案例——輾轉相除法與更相減損術學習，體會中國古代數學對世界數學發(fā)展的貢獻。教學重點是理解輾轉相除法與更相減損術求最大公約數的方法。難點是把輾轉相除法與更相減損術的方法轉換成程序框圖與程序語言。
【學情分析】：
在理解最大公約數的基礎上去發(fā)現輾轉相除法與更相減損術中的數學規(guī)律，并能模仿已經學過的程序框
圖與算法語句設計出輾轉相除法與更相減損術的程序框圖與算法程序。
【設計思路】
采用啟發(fā)式，并遵循循序漸進的教學原則。這有利于學生掌握從現象到本質，從已知到未知逐步
形成念的學習方法，有利于發(fā)展學生抽象思維能力和邏輯推理能力。
【學習目標】
(1)理解輾轉相除法與更相減損術中蘊含的數學原理，并能根據這些原理進行算法分析。
(2)基本能根據算法語句與程序框圖的知識設計完整的程序框圖并寫出算法程序。
(3)領會數學算法與計算機處理的結合方式，初步掌握把數學算法轉化成計算機語言的一般步驟。
【教學流程】
一、創(chuàng)設情景，揭示課題
1.教師首先提出問題：在初中，我們已經學過求最大公約數的知識，你能求出18與30的`公約數嗎?
2.接著教師進一步提出問題，我們都是利用找公約數的方法來求最大公約數，如果公約數比較大而且根據我們的觀察又不能得到一些公約數，我們又應該怎樣求它們的最大公約數?比如求8251與6105的最大公約數?這就是我們這一堂課所要探討的內容。
二、研探新知，發(fā)現規(guī)律
1.輾轉相除法
例1 求兩個正數8251和6105的最大公約數。
解：8251=6105×1+2146
顯然8251的最大公約數也必是2146的約數，同樣6105與2146的公約數也必是8251的約數，所以8251與6105的最大公約數也是6105與2146的最大公約數。
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
1813=333×5+148 333=148×2+37
148=37×4+0
則37為8251與6105的最大公約數。
以上我們求最大公約數的方法就是輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的。利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：
第一步：用較大的數m除以較小的數n得到一個商q0和一個余數r0;
第二步：若r0=0，則n為m，n的最大公約數;若r0≠0，則用除數n除以余數r0得到一個商q1和一個余數r1;
第三步：若r1=0，則r1為m，n的最大公約數;若r1≠0，則用除數r0除以余數r1得到一個商q2和一個余數r2;
依次計算直至rn=0，此時所得到的rn-1即為所求的最大公約數。
(1)輾轉相除法的程序框圖及程序
程序框圖：(略)
程序：(當循環(huán)結構) 直到型結構見書37面。
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF m
m=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
練習：利用輾轉相除法求兩數4081與20723的最大公約數(答案：53)
2.更相減損術
我國早期也有解決求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。
更相減損術求最大公約數的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。
翻譯出來為：
第一步：任意給出兩個正數;判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡;若不是，執(zhí)行第二步。 第二步：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續(xù)這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數(等數)就是所求的最大公約數。
例2 用更相減損術求98與63的最大公約數.
解：由于63不是偶數，把98和63以大數減小數，并輾轉相減，即：98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98與63的最大公約數是7。
練習：用更相減損術求兩個正數84與72的最大公約數。(答案：12)
三、對比歸納，得出結論
3.比較輾轉相除法與更相減損術的區(qū)別
(1)都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區(qū)別較大時計算次數的區(qū)別較明顯。
(2)從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到
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