1．?dāng)?shù)學(xué)操作技能的形成過(guò)程。
數(shù)學(xué)操作技能作為一種外顯的操作活動(dòng)方式，它的形成大致要經(jīng)過(guò)以下四個(gè)基本階段。
（1）動(dòng)作的定向階段。這是操作技能形成的起始階段，主要是學(xué)習(xí)者在頭腦里建立起完成某項(xiàng)數(shù)學(xué)任務(wù)的操作活動(dòng)的定向映象。包括明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，激起學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，了解與數(shù)學(xué)技能有關(guān)的知識(shí)，知道技能的操作程序和動(dòng)作要領(lǐng)以及活動(dòng)的最后結(jié)果等內(nèi)容。概括起來(lái)講，這一階段主要是了解“做什么”和“怎樣做”兩方面的內(nèi)容。如畫(huà)角，這一階段主要是了解需畫(huà)一個(gè)多少度的角（即知道做什么）和畫(huà)角的步驟（即怎么做），以此給畫(huà)角的操作活動(dòng)作出具體的定向。動(dòng)作定向的作用是在頭腦里初步建立起操作的自我調(diào)節(jié)機(jī)制；通過(guò)對(duì)“做什么”和“怎么做”的了解而明確實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)的程序與步驟，從而保證在操作中更好地掌握其動(dòng)作的活動(dòng)方式。
（2）動(dòng)作的分解階段。這是操作技能進(jìn)入實(shí)際學(xué)習(xí)的最初階段，其作法是把某項(xiàng)數(shù)學(xué)技能的全套動(dòng)作分解成若干個(gè)單項(xiàng)動(dòng)作，在老師的示范下學(xué)生依次模仿練習(xí)，從而掌握局部動(dòng)作的活動(dòng)方式。如用圓規(guī)按照給定的半徑畫(huà)圓，在這一階段就可把整個(gè)操作程序分解成三個(gè)局部動(dòng)作：①把圓規(guī)的兩腳張開(kāi)，按照給定的半徑定好兩腳間的距離；②把有針尖的一腳固定在一點(diǎn)上，確定出圓心；③將有鉛筆尖的一腳繞圓心旋轉(zhuǎn)一周，畫(huà)出圓。通過(guò)對(duì)這三個(gè)具有連續(xù)性的局部動(dòng)作的依次練習(xí)，即可掌握畫(huà)圓的要領(lǐng)。學(xué)生在這一階段學(xué)習(xí)的方式主要是模仿，一方面根據(jù)老師的示范進(jìn)行模仿；另一方面也可以根據(jù)有關(guān)操作規(guī)則的文字描述進(jìn)行模仿，如根據(jù)幾何作圖規(guī)則對(duì)各個(gè)動(dòng)作活動(dòng)方式的表述進(jìn)行模仿。模仿不一定都是被動(dòng)的和機(jī)械的，“模仿可以是有意的和無(wú)意的；可以是再造性的，也可以是創(chuàng)造性的`。”②模仿是數(shù)學(xué)操作技能形成的一個(gè)不可缺少的條件。
（3）動(dòng)作的整合階段。在這一階段，把前面所掌握的各個(gè)局部動(dòng)作按照一定的順序連接起來(lái)，使其形成一個(gè)連貫而協(xié)調(diào)的操作程序，并固定下來(lái)。如畫(huà)圓，在這一階段就可將三個(gè)步驟綜合起來(lái)形成一體化的操作系統(tǒng)。這時(shí)由于局部動(dòng)作之間尚處在銜接階段，所以動(dòng)作還難以維持穩(wěn)定性和精確性，動(dòng)作系統(tǒng)中的某些環(huán)節(jié)在銜接時(shí)甚至還會(huì)出現(xiàn)停頓現(xiàn)象。不過(guò)，總的來(lái)講這一階段動(dòng)作之間的相互干擾逐步得到排除，操作過(guò)程中的多余動(dòng)作也明顯減少，已形成完整而有序的動(dòng)作系統(tǒng)。
（4）動(dòng)作的熟練階段。這是操作技能形成的最后階段，在這一階段通過(guò)練習(xí)而形成的數(shù)學(xué)活動(dòng)方式能適應(yīng)各種變化情況，其操作表現(xiàn)出高度完善化的特點(diǎn)。動(dòng)作之間相互干擾和不協(xié)調(diào)的現(xiàn)象完全消除，動(dòng)作具有高度的正確性和穩(wěn)定性，并且不管在什么條件下全套動(dòng)作都能流暢地完成。如這時(shí)的畫(huà)圓，不需要意志控制就能順利地完成全套動(dòng)作，并且能充分保證其正確性。上述分析表明，數(shù)學(xué)操作技能的形成要經(jīng)過(guò)“定向→分解→整合→熟練”的發(fā)展過(guò)程。在這一過(guò)程中每一個(gè)發(fā)展階段都有自己的任務(wù)：定向階段的主要任務(wù)是掌握操作的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和每一個(gè)步驟操作的要領(lǐng)；分解階段的主要任務(wù)是對(duì)活動(dòng)的操作系列進(jìn)行分解，并逐一模仿練習(xí)；整合階段的主要任務(wù)是在動(dòng)作之間建立聯(lián)系，使活動(dòng)協(xié)調(diào)一體化；熟練階段的任務(wù)則主要是使整個(gè)操作過(guò)程高度完善化和自動(dòng)化。
2．?dāng)?shù)學(xué)心智技能的形成過(guò)程。
關(guān)于數(shù)學(xué)心智技能形成過(guò)程的研究，人們比較普遍地采用了原蘇聯(lián)心理學(xué)家加里培林的研究成果。加里培林認(rèn)為，心智活動(dòng)是一個(gè)從外部的物質(zhì)活動(dòng)到內(nèi)部心智活動(dòng)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，既內(nèi)化的過(guò)程。據(jù)此，在這里我們把小學(xué)生數(shù)學(xué)心智技能的形成過(guò)程概括為以下四個(gè)階段。
（1）活動(dòng)的認(rèn)知階段。這是數(shù)學(xué)心智活動(dòng)的認(rèn)知準(zhǔn)備階段，主要是讓學(xué)生了解并記住與活動(dòng)任務(wù)有關(guān)的知識(shí)，明確活動(dòng)的過(guò)程和結(jié)果，在頭腦里形成活動(dòng)本身及其結(jié)果的表象。如學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算技能，在這一步就是讓學(xué)生回憶并記住除法商不變性質(zhì)和除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則等知識(shí)，在此基礎(chǔ)上明確計(jì)算的程序和每一步計(jì)算的具體方法，以此在頭腦里形成除數(shù)是小數(shù)除法計(jì)算過(guò)程的表象。認(rèn)知階段實(shí)際上也是一種心智活動(dòng)的定向階段，通過(guò)這一階段，學(xué)習(xí)者可以建立起進(jìn)行數(shù)學(xué)心智活動(dòng)的初步自我調(diào)節(jié)機(jī)制，為后面順利進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)提供內(nèi)部控制條件。這一階段的主要任務(wù)是在頭腦里確定心智技能的活動(dòng)程序，并讓這種程序的動(dòng)作結(jié)構(gòu)在頭腦里得到清晰的反映。
（2）示范模仿階段。這是數(shù)學(xué)心智活動(dòng)方式進(jìn)入具體執(zhí)行過(guò)程的開(kāi)始，這一階段學(xué)生把在頭腦里已初步建立起來(lái)的活動(dòng)程序計(jì)劃以外顯的操作方式付諸執(zhí)行。不過(guò)，這種執(zhí)行通常是在老師指導(dǎo)示范下進(jìn)行的，老師的示范通常是采用語(yǔ)言指導(dǎo)和操作提示相結(jié)合的方式進(jìn)行的，即在言語(yǔ)指導(dǎo)的同時(shí)呈現(xiàn)活動(dòng)過(guò)程中的某些步驟。如計(jì)算乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法時(shí)，一方面根據(jù)運(yùn)算法則指導(dǎo)運(yùn)算步驟；另一方面在表述運(yùn)算規(guī)定的同時(shí)重點(diǎn)示范用乘數(shù)十位上的數(shù)去乘被乘數(shù)所得的部分積的對(duì)位，以此讓學(xué)生在老師的幫助、指導(dǎo)下順利地掌握兩位數(shù)乘多位數(shù)計(jì)算的活動(dòng)方式。在這一階段，學(xué)生活動(dòng)的執(zhí)行水平還比較低，通常停留在物質(zhì)活動(dòng)和物質(zhì)化活動(dòng)的水平上。“所謂物質(zhì)活動(dòng)是指動(dòng)作的客體是實(shí)際事物，所謂物質(zhì)化活動(dòng)是指活動(dòng)不是借助于實(shí)際事物本身，而是以它的代替物如模擬的教具、學(xué)具，乃至圖畫(huà)、圖解、言語(yǔ)等進(jìn)行的”。③如解答復(fù)合應(yīng)用題，在這一步學(xué)生通常就是借助線段圖進(jìn)行分析題中數(shù)量關(guān)系的智力活動(dòng)的。
（3）有意識(shí)的言語(yǔ)階段。這一階段的智力活動(dòng)離開(kāi)了活動(dòng)的物質(zhì)和物質(zhì)化的客體而逐步轉(zhuǎn)向頭腦內(nèi)部，學(xué)生通過(guò)自己的言語(yǔ)指導(dǎo)而進(jìn)行智力活動(dòng)，通常表現(xiàn)為一邊操作一邊口中念念有詞。如兩位數(shù)加兩位數(shù)的筆算，在這一步學(xué)生往往是一邊計(jì)算，口中一邊念：相同數(shù)位對(duì)位，從個(gè)位加起，個(gè)位滿十向十位進(jìn)1。很明顯，這時(shí)的計(jì)算過(guò)程是伴隨著對(duì)法則運(yùn)算規(guī)定的復(fù)述進(jìn)行的。在這一階段，學(xué)生出聲的外部言語(yǔ)活動(dòng)還會(huì)逐步向不出聲的外部言語(yǔ)活動(dòng)過(guò)渡，如兩位數(shù)加兩位數(shù)的筆算，在本階段的后期學(xué)生往往是通過(guò)默想法則規(guī)定的運(yùn)算步驟進(jìn)行計(jì)算的。這一活動(dòng)水平的出現(xiàn)，標(biāo)志著學(xué)生的活動(dòng)已開(kāi)始向智力活動(dòng)水平轉(zhuǎn)化。
（4）無(wú)意識(shí)的內(nèi)部言語(yǔ)階段。這是數(shù)學(xué)心智技能形成的最后的一個(gè)階段，在這一階段學(xué)生的智力活動(dòng)過(guò)程有了高度的壓縮和簡(jiǎn)化，整個(gè)活動(dòng)過(guò)程達(dá)到了完全自動(dòng)化的水平，無(wú)需去注意活動(dòng)的操作規(guī)則就能比較流暢地完成其操作程序。如用簡(jiǎn)便方法計(jì)算45＋99×99＋54，在這一階段學(xué)生無(wú)需去回憶加法交換律和結(jié)合律、乘法分配律等運(yùn)算定律，就能直接先合并45和54兩個(gè)加數(shù)，然后利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，即原式＝（45＋54）＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900，整個(gè)計(jì)算過(guò)程完全是一種流暢的自動(dòng)化演算過(guò)程。在這一階段，學(xué)生的活動(dòng)完全是根據(jù)自己的內(nèi)部言語(yǔ)進(jìn)行思考的，并且總是用非常簡(jiǎn)縮的形式進(jìn)行思考的，活動(dòng)的中間過(guò)程往往簡(jiǎn)約得連自己也察覺(jué)不到了，整個(gè)活動(dòng)過(guò)程基本上是一種自動(dòng)化的過(guò)程。
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