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高三數學不等式、推理與證明訓練試題集

試題 時間:2021-08-31 手機版

高三數學不等式、推理與證明訓練試題集

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.

  1.下列符合三段論推理形式的為( )

  A.如果pq,p真,則q真

  B.如果bc,ab,則ac

  C.如果a∥b,b∥c 高考,則a∥c

  D.如果a>b,c>0,則ac>bc

  解析:由三段論的推理規則可以得到B為三段論.

  答案:B

  2.類比平面內正三角形的“三邊相等,三內角相等”的性質,可推出正四面體的下列性質,你認為比較恰當的是( )

  ①各棱長相等,同一頂點上的任意兩條棱的夾角都相等;

  ②各個面都是全等的正三角形,相鄰兩個面所成的二面角都相等;③各面都是面積相等的三角形,同一頂點上的任意 兩條棱的夾角都相等.

  A.① B.② C.①②③ D.③

  解析:由類比原理和思想,①②③都是合理、恰當的.

  答案:C

  3.用反證法證明命題“2+3是無理數”時,假設正確的是( )

  A.假設2是有理數 B.假設3是有理數

  C.假設2或3是有理數 D.假設2+3是有理數

  解析:假設結論的反面成立,2+3不是無理數,則2+3是有理數.

  答案:D

  4.已知ai,bi∈R(i=1,2,3,…,n),a12+a22+…+an2=1,b12+b22+…+bn2=1,則a1b1+a2b2+…+anbn的最大值為( )

  A.1 B.2 C.n2 D.2n

  解析:此結論為“a,b,c,d∈R,a2+b2=1,c3+d2=1,則ac+bd≤a2+c22+b2+d22=1”的推廣,類比可得a1b1+a2b2+…+anbn≤a12+b122+a22+b222+…+an2+bn22=1.

  答案:A

  5.在下列函數中,最小值是2的是( )

  A.y=x2+2x

  B.y=x+2x+1(x>0)

  C.y=sinx+1sinx,x∈(0,π2)

  D.y=7x+7-x

  解析:A中x的取值未限制,故無最小值.

  D中,∵y=7x+7-x=7x+17x≥2,等號成立的條件是x=0.

  B、C選項均找不到等號成立的條件.

  答案:D

  6.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集為{x-1<x<13},則ab的值為( )

  A.-6 B.6 C.-5 D.5

  解析:∵ax2+bx+1>0的解集是{x-1<x<13},

  ∴-1,13是方程ax2+bx+1=0的兩根,

  ∴-1+13=-ba-1×13=1ab=-2,a=-3,∴ab=-3×(-2)=6.

  答案:B

  7.已知a>0,b>0,則1a+1b+2ab的最小值是( )

  A.2 B.22 C.4 D.5

  解析:因為1a+1b+2ab≥21ab+2ab=21ab+ab≥4,當且僅當1a=1b,且 1ab=ab,即a=b=1時,取“=”.

  答案:C

  8.在直角坐標系中,若不等式組y≥0,y≤2x,y≤k(x-1)-1,表示一個三角形區域,則實數k的取值范圍是( )

  A.(-∞,-1) B.(-1,2)

  C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(2,+∞)

  解析:先作出y≥0,y≤2x,的平面區域如圖:

  若k=0時,顯然不能與陰影部分構成三角形.

  若k>0,將陰影部分的點如(0,0)代入y≤k(x-1)-1,有0≤-k-1,顯然不能與陰影部分構成三角形,所以k<0;又y=k(x-1)-1是過定點(1,-1)的直線,由圖知,若與陰影部分構成三角形,則有-k-1>0,

  故k<-1時,原不等式組能構成三角形區域.

  答案:A

  9.如果a>b,給出下列不等式,其中成立的是( )

  (1)1a<1b; (2)a3>b3;

  (3)a2+1>b2+1; (4)2a>2b.

  A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(2)(4)

  解析:∵a、b符號不定,故(1)不正確,(3)不正確.

  ∵y=x3是增函數,∴a>b時,a3>b3,故(2)正確.

  ∴y=2x是增函數,∴a>b時,2a>2b,故(4)正確.

  答案:D

  10.設函數f(x)=-3 (x>0),x2+bx+c (x≤0),若f(-4)=f(0),f(-2)=0,則關于x的不等式f(x)≤1的解集為( )

  A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) B.[-3,-1]

  C.[-3,-1]∪(0,+∞) D.[-3,+∞)

  解析:當x≤0時,f(x)=x2+bx+c且f(-4)=f(0),故對稱軸為x=-b2=-2,∴b=4.

  又f(-2)=4-8+c=0,∴c=4,

  令x2+4x+4≤1有-3≤x≤-1;

  當x>0時,f(x)=-2≤1顯然成立.

  故不等式的解集為[-3,-1]∪(0,+∞).

  答案:C

  11.若直線2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圓x2+y2-2x-4y-6=0,則2a+1b的最小值是( )

  A.2-2 B.2-1 C.3+22 D.3-22

  解析:由x2+y2-2x-4y-6=0得

  (x-1)2+(y-2)2=11,

  若2ax+by-2=0平 分圓,

  ∴2a+2b-2=0,∴a+b=1,

  ∴2a+1b=2(a+b)a+a+bb=3+2ba+ab

  ≥3+2 2baab=3+22,

  當且僅當2ba=ab,且a+b=1,即a=2-2,b=2-1時取等號.

  答案:C

  12.某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比,如果在距離車站10 km處建倉庫,這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么,要使這兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站( )

  A.5 km處 B.4 km處

  C.3 km處 D.2 km處

  解析:由題意可設y1=k1x,y2=k2x,∴k1=xy1,k2=y2x,

  把x=10,y1=2與x=10,y2=8分別代入上式得k1=20,k2=0.8,

  ∴y1=20x ,y2=0.8x(x為倉庫到車站的距離),

  費用之和y=y1+y2=0.8x+20x≥2 0.8x20x=8,

  當且僅當0.8x=20x,即x=5時等號成立,故選A.

  答案:A

第Ⅱ卷 (非選擇 共90分)

二、填空題:本大題共4個小題,每小題5分,共20分.

  13.如下圖,對大于或等于2的自然數m的n次冪進行如下方式的“分裂”:

  仿此,52的“分裂”中最大的數是 ,53的“分裂”中最小的數是 .

  解析:由已知中“分裂”可得

  故“52”的“分裂”中最大的數是9,53的“分裂”中最小的數是21.

  答案:9 21

  14.由圖①有面積關系:S△PA′B′S△PAB=PA′PB′PAPB,則由圖②有體積關系:VP-A′B′C′VP-ABC=__________.

  解析:設三棱錐C′-PA′B′的高為h′,

  15.已知等比數列{an}中,a2>a3=1,則使不等式a1-1a1+a2-1a2+a3-1a3+…+an-1an≥0成立的最大自然數n是__________.

  解析:∵a2>a3=1,∴0<q=a1a2<1,a1=1q2>1,

  a1-1a1+a1-1a2+a3-1a1+…+an-1an

  =(a1+a2+…+an)-1a1+1a2+…+1an

  =a1(1-qn)1-q-1a11-1qn1-1q=a1(1-q4)1-q-q(1-qn)a1(1-q)qn≥0,

  ∴a1(1-qn)1-q≥q(1-qn)a1(1-q)qn.

  因為0 <q<1,所以,化簡得:a12≥1qn-1,即q4≤qn-1,

  ∴4≥n-1,n≤5,所以n的最大值為5.

  答案:5

  16.設實數x,y滿足x-y-2≤0,x+2y-5≥0,y-2≤0,則u=yx-xy的取值范圍是__________.

  解析:作出x,y滿足的可行域如圖中陰影部分所示,可得可行域內的點與原點連線的斜率的取值范圍是13,2,

  即yx∈13,2,故令t=yx,

  則u=t-1t,根據函數u=t-1t在t∈13,2上單調遞增,得u∈-83,32.

  答案:-83,32


本文來源http://www.nvnqwx.com/shiti/2720776.htm
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