高三數學不等式、推理與證明訓練試題集

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

　　1．下列符合三段論推理形式的為( )

　　A．如果pq，p真，則q真

　　B．如果bc，ab，則ac

　　C．如果a∥b，b∥c 高考，則a∥c

　　D．如果a＞b，c＞0，則ac＞bc

　　解析：由三段論的推理規則可以得到B為三段論.

　　答案：B

　　2．類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推出正四面體的下列性質，你認為比較恰當的是( )

　?、俑骼忾L相等，同一頂點上的任意兩條棱的夾角都相等；

　?、诟鱾€面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各面都是面積相等的三角形，同一頂點上的任意 兩條棱的夾角都相等．

　　A．① B．② C．①②③ D．③

　　解析：由類比原理和思想，①②③都是合理、恰當的.

　　答案：C

　　3．用反證法證明命題“2＋3是無理數”時，假設正確的是( )

　　A．假設2是有理數 B．假設3是有理數

　　C．假設2或3是有理數 D．假設2＋3是有理數

　　解析：假設結論的反面成立，2＋3不是無理數，則2＋3是有理數.

　　答案：D

　　4．已知ai，bi∈R(i＝1,2,3，…，n)，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，則a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值為( )

　　A．1 B．2 C．n2 D．2n

　　解析：此結論為“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，則ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝1”的推廣，類比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1.

　　答案：A

　　5．在下列函數中，最小值是2的是( )

　　A．y＝x2＋2x

　　B．y＝x＋2x＋1(x＞0)

　　C．y＝sinx＋1sinx，x∈(0，π2)

　　D．y＝7x＋7－x

　　解析：A中x的取值未限制，故無最小值．

　　D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x≥2，等號成立的條件是x＝0.

　　B、C選項均找不到等號成立的條件.

　　答案：D

　　6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集為{x－1＜x＜13}，則ab的值為( )

　　A．－6 B．6 C．－5 D．5

　　解析：∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x－1＜x＜13}，

　　∴－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的兩根，

　　∴－1＋13＝－ba－1×13＝1ab＝－2，a＝－3，∴ab＝－3×(－2)＝6.

　　答案：B

　　7．已知a＞0，b＞0，則1a＋1b＋2ab的最小值是( )

　　A．2 B．22 C．4 D．5

　　解析：因為1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，當且僅當1a＝1b，且 1ab＝ab，即a＝b＝1時，取“＝”.

　　答案：C

　　8．在直角坐標系中，若不等式組y≥0，y≤2x，y≤k(x－1)－1，表示一個三角形區域，則實數k的取值范圍是( )

　　A．(－∞，－1) B．(－1,2)

　　C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)

　　解析：先作出y≥0，y≤2x，的平面區域如圖：

　　若k＝0時，顯然不能與陰影部分構成三角形．

　　若k＞0，將陰影部分的點如(0,0)代入y≤k(x－1)－1，有0≤－k－1，顯然不能與陰影部分構成三角形，所以k＜0；又y＝k(x－1)－1是過定點(1，－1)的直線，由圖知，若與陰影部分構成三角形，則有－k－1＞0，

　　故k＜－1時，原不等式組能構成三角形區域.

　　答案：A

　　9．如果a＞b，給出下列不等式，其中成立的是( )

　　(1)1a＜1b； (2)a3＞b3；

　　(3)a2＋1＞b2＋1; (4)2a＞2b.

　　A．(2)(3) B．(1)(3) C．(3)(4) D．(2)(4)

　　解析：∵a、b符號不定，故(1)不正確，(3)不正確．

　　∵y＝x3是增函數，∴a＞b時，a3＞b3，故(2)正確．

　　∴y＝2x是增函數，∴a＞b時，2a＞2b，故(4)正確.

　　答案：D

　　10．設函數f(x)＝－3 (x＞0)，x2＋bx＋c (x≤0)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，則關于x的不等式f(x)≤1的解集為( )

　　A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B．[－3，－1]

　　C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞)

　　解析：當x≤0時，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故對稱軸為x＝－b2＝－2，∴b＝4.

　　又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，

　　令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；

　　當x＞0時，f(x)＝－2≤1顯然成立．

　　故不等式的解集為[－3，－1]∪(0，＋∞).

　　答案：C

　　11．若直線2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)平分圓x2＋y2－2x－4y－6＝0，則2a＋1b的最小值是( )

　　A．2－2 B.2－1 C．3＋22 D．3－22

　　解析：由x2＋y2－2x－4y－6＝0得

　　(x－1)2＋(y－2)2＝11，

　　若2ax＋by－2＝0平 分圓，

　　∴2a＋2b－2＝0，∴a＋b＝1，

　　∴2a＋1b＝2(a＋b)a＋a＋bb＝3＋2ba＋ab

　　≥3＋2 2baab＝3＋22，

　　當且僅當2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1時取等號.

　　答案：C

　　12．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10 km處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站( )

　　A．5 km處 B．4 km處

　　C．3 km處 D．2 km處

　　解析：由題意可設y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2x，

　　把x＝10，y1＝2與x＝10，y2＝8分別代入上式得k1＝20，k2＝0.8，

　　∴y1＝20x ，y2＝0.8x(x為倉庫到車站的距離)，

　　費用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x20x＝8，

　　當且僅當0.8x＝20x，即x＝5時等號成立，故選A.

　　答案：A

第Ⅱ卷 (非選擇 共90分)

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．

　　13．如下圖，對大于或等于2的自然數m的n次冪進行如下方式的“分裂”：

　　仿此，52的“分裂”中最大的數是 ，53的“分裂”中最小的數是 .

　　解析：由已知中“分裂”可得

　　故“52”的“分裂”中最大的數是9,53的“分裂”中最小的數是21.

　　答案：9 21

　　14．由圖①有面積關系：S△PA′B′S△PAB＝PA′PB′PAPB，則由圖②有體積關系：VP－A′B′C′VP－ABC＝__________.

　　解析：設三棱錐C′-PA′B′的高為h′，

　　15．已知等比數列{an}中，a2＞a3＝1，則使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an≥0成立的最大自然數n是__________．

　　解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1，

　　a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an

　?。?a1＋a2＋…＋an)－1a1＋1a2＋…＋1an

　?。絘1(1－qn)1－q－1a11－1qn1－1q＝a1(1－q4)1－q－q(1－qn)a1(1－q)qn≥0，

　　∴a1(1－qn)1－q≥q(1－qn)a1(1－q)qn.

　　因為0 ＜q＜1，所以，化簡得：a12≥1qn－1，即q4≤qn－1，

　　∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值為5.

　　答案：5

　　16．設實數x，y滿足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，則u＝yx－xy的取值范圍是__________．

　　解析：作出x，y滿足的可行域如圖中陰影部分所示，可得可行域內的點與原點連線的斜率的取值范圍是13，2，

　　即yx∈13，2，故令t＝yx，

　　則u＝t－1t，根據函數u＝t－1t在t∈13，2上單調遞增，得u∈－83，32.

　　答案：－83，32