《1.2 應(yīng)用舉例（2）》測(cè)試題

　　一、選擇題

　　1.有一長(zhǎng)為米的斜坡，它的坡度為，公路建設(shè)部門根據(jù)要求需要在坡底填土，使斜坡的坡度變?yōu)椋瑒t坡底將伸長(zhǎng)( ).

　　A.米 B. 米 C. 米 D. 米

　　考查目的：考查正弦定理、二倍角正弦公式的基本應(yīng)用.

　　答案：D.

　　解析：如圖，原斜坡為，填土后的斜坡為，要求的長(zhǎng). 根據(jù)題意可知，，，，根據(jù)正弦定理得，∴.

　　2.(2010北京文)某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽(如圖)，它由腰長(zhǎng)為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為( ).

　　A. B.

　　C. D.

　　考查目的：考查三角形面積公式、直角三角形邊角關(guān)系或余弦定理，以及三角恒等變形能力.

　　答案：A.

　　解析：根據(jù)已知條件，四個(gè)等腰三角形的面積之和為，由直角三角形的邊角關(guān)系得正方形的邊長(zhǎng)為，所以該八邊形的面積為 .

　　3.(由2009浙江文改編)在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，若．則的面積為( ).

　　A. B. C. D.

　　考查目的：考查二倍角余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角形面積公式、向量的數(shù)量積以及運(yùn)算求解能力.

　　答案：C.

　　解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面積為.

　　二、填空題

　　4.(2011上海理)在相距2千米的兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)，若，，則兩點(diǎn)之間的距離是 千米.

　　考查目的：考查三角形內(nèi)角和定理、正弦定理的應(yīng)用.

　　答案：.

　　解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，，∴由正弦定理得，∴.

　　5.三角形的一邊長(zhǎng)為，這條邊所對(duì)的角為，另兩邊之比為，則這個(gè)三角形的面積為 .

　　考查目的：考查余弦定理及三角形面積公式.

　　答案：.

　　解析：不妨設(shè)的邊，，，則由余弦定理得，兩式聯(lián)立解得，，∴.

　　6.我艦在島南偏西方向相距的處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島沿北偏西的方向以每小時(shí)的速度航行，若我艦要用小時(shí)追上敵艦，則我艦追擊的速度為 ，方向?yàn)?(精確到).

　　考查目的：考查正弦定理、余弦定理以及方程思想的應(yīng)用.

　　答案：小時(shí)，北偏東.

　　解析：設(shè)我艦以速度航行，在處追上敵艦. 在中，由題意知，，，，所以根據(jù)余弦定理得，，∴.設(shè)我艦追擊的方向?yàn)楸逼珫|角度，由正弦定理得，，∴，故.

　　三、解答題：

　　7.(2008上海)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形．小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)及點(diǎn)處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為．已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘．若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長(zhǎng)(精確到1米)．

　　考查目的：考查利用余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的能力以及運(yùn)算求解能力.

　　答案：米

　　解析：(方法一)設(shè)該扇形的半徑為米. 由題意，得米，米，.在中， 即，解得(米).

　　(方法二)連接，作，交于，由題意，得米，米，，在中，，∴米. .在直角中，(米)，，∴ (米).

　　8.在中，的對(duì)邊分別為，為邊上的高，且，試求的最大值.

　　考查目的：考查余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)的恒等變形和性質(zhì)以及運(yùn)算求解能力.

　　答案：.

　　解析：由余弦定理，得. 兩邊同除以，得.∵，∴，即，代入上式得，(其中為銳角，且)，∴的最大值為.

　　數(shù)學(xué)的三次危機(jī)——第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

　　從哲學(xué)上來(lái)看，矛盾是無(wú)處不存在的，即便以確定無(wú)疑著稱的數(shù)學(xué)也不例外。數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，例如正與負(fù)、加與減、微分與積分、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等等。在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無(wú)窮、連續(xù)與離散、存在與構(gòu)造、邏輯與直觀、具體對(duì)象與抽象對(duì)象、概念與計(jì)算等等。

　　在數(shù)學(xué)史上，貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)與解決。當(dāng)矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。而危機(jī)的解決，往往能給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。

　　數(shù)學(xué)的發(fā)展就經(jīng)歷過(guò)三次關(guān)于基礎(chǔ)理論的危機(jī)。

　　一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

　　從某種意義上來(lái)講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)，來(lái)源予古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。它是一個(gè)唯心主義學(xué)派，興旺的時(shí)期為公元前500年左右。他們認(rèn)為，“萬(wàn)物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學(xué)的知識(shí)是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的世界，數(shù)學(xué)的知識(shí)由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經(jīng)驗(yàn)。

　　整數(shù)是在對(duì)于對(duì)象的有限整合進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計(jì)算單個(gè)的對(duì)象，還要度量各種量，例如長(zhǎng)度、重量和時(shí)間。為了滿足這些簡(jiǎn)單的度量需要，就要用到分?jǐn)?shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個(gè)整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所以對(duì)于進(jìn)行實(shí)際量度是足夠的。

　　有理數(shù)有一種簡(jiǎn)單的幾何解釋。在一條水平直線上，標(biāo)出一段線段作為單位長(zhǎng)，如果令它的定端點(diǎn)和右端點(diǎn)分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長(zhǎng)的點(diǎn)的集合來(lái)表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分?jǐn)?shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點(diǎn)表示。于是，每一個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)著直線上的一個(gè)點(diǎn)。

　　古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這樣能把直線上所有的點(diǎn)用完。但是，畢氏學(xué)派大約在公元前400年發(fā)現(xiàn)：直線上存在不對(duì)應(yīng)任何有理數(shù)的點(diǎn)。特別是，他們證明了：這條直線上存在點(diǎn)p不對(duì)應(yīng)于有理數(shù)，這里距離op等于邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)的正方形的對(duì)角線。于是就必須發(fā)明新的數(shù)對(duì)應(yīng)這樣的點(diǎn)，并且因?yàn)檫@些數(shù)不可能是有理數(shù)，只好稱它們?yōu)闊o(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢氏學(xué)派的最偉大成就之一，也是數(shù)學(xué)史上的重要里程碑。

　　無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。首先，對(duì)于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)，這是一次致命的打擊。其次，無(wú)理數(shù)看來(lái)與常識(shí)似乎相矛盾。在幾何上的對(duì)應(yīng)情況同樣也是令人驚訝的，因?yàn)榕c直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定了任何兩個(gè)同類量是可通約的，所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關(guān)于相似形的一般理論也失效了。