《1.2 應用舉例（2）》測試題

　　一、選擇題

　　1.有一長為米的斜坡，它的坡度為，公路建設部門根據(jù)要求需要在坡底填土，使斜坡的坡度變?yōu)椋瑒t坡底將伸長( ).

　　A.米 B. 米 C. 米 D. 米

　　考查目的：考查正弦定理、二倍角正弦公式的基本應用.

　　答案：D.

　　解析：如圖，原斜坡為，填土后的斜坡為，要求的長. 根據(jù)題意可知，，，，根據(jù)正弦定理得，∴.

　　2.(2010北京文)某班設計了一個八邊形的班徽(如圖)，它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為( ).

　　A. B.

　　C. D.

　　考查目的：考查三角形面積公式、直角三角形邊角關(guān)系或余弦定理，以及三角恒等變形能力.

　　答案：A.

　　解析：根據(jù)已知條件，四個等腰三角形的面積之和為，由直角三角形的邊角關(guān)系得正方形的邊長為，所以該八邊形的面積為 .

　　3.(由2009浙江文改編)在中，角所對的邊分別為，且滿足，若．則的面積為( ).

　　A. B. C. D.

　　考查目的：考查二倍角余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角形面積公式、向量的數(shù)量積以及運算求解能力.

　　答案：C.

　　解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面積為.

　　二、填空題

　　4.(2011上海理)在相距2千米的兩點處測量目標，若，，則兩點之間的距離是 千米.

　　考查目的：考查三角形內(nèi)角和定理、正弦定理的應用.

　　答案：.

　　解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，，∴由正弦定理得，∴.

　　5.三角形的一邊長為，這條邊所對的角為，另兩邊之比為，則這個三角形的面積為 .

　　考查目的：考查余弦定理及三角形面積公式.

　　答案：.

　　解析：不妨設的邊，，，則由余弦定理得，兩式聯(lián)立解得，，∴.

　　6.我艦在島南偏西方向相距的處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島沿北偏西的方向以每小時的速度航行，若我艦要用小時追上敵艦，則我艦追擊的速度為 ，方向為 (精確到).

　　考查目的：考查正弦定理、余弦定理以及方程思想的應用.

　　答案：小時，北偏東.

　　解析：設我艦以速度航行，在處追上敵艦. 在中，由題意知，，，，所以根據(jù)余弦定理得，，∴.設我艦追擊的方向為北偏東角度，由正弦定理得，，∴，故.

　　三、解答題：

　　7.(2008上海)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形．小區(qū)的兩個出入口設置在點及點處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為．已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘．若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長(精確到1米)．

　　考查目的：考查利用余弦定理解決實際問題的能力以及運算求解能力.

　　答案：米

　　解析：(方法一)設該扇形的半徑為米. 由題意，得米，米，.在中， 即，解得(米).

　　(方法二)連接，作，交于，由題意，得米，米，，在中，，∴米. .在直角中，(米)，，∴ (米).

　　8.在中，的對邊分別為，為邊上的高，且，試求的最大值.

　　考查目的：考查余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)的恒等變形和性質(zhì)以及運算求解能力.

　　答案：.

　　解析：由余弦定理，得. 兩邊同除以，得.∵，∴，即，代入上式得，(其中為銳角，且)，∴的最大值為.

　　數(shù)學的三次危機——第一次數(shù)學危機

　　從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便以確定無疑著稱的數(shù)學也不例外。數(shù)學中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數(shù)與無理數(shù)、實數(shù)與虛數(shù)等等。在整個數(shù)學發(fā)展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續(xù)與離散、存在與構(gòu)造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。

　　在數(shù)學史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數(shù)學的基礎時，就會產(chǎn)生數(shù)學危機。而危機的解決，往往能給數(shù)學帶來新的內(nèi)容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。

　　數(shù)學的發(fā)展就經(jīng)歷過三次關(guān)于基礎理論的危機。

　　一、第一次數(shù)學危機

　　從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學，來源予古希臘畢達哥拉斯學派。它是一個唯心主義學派，興旺的時期為公元前500年左右。他們認為，“萬物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用于現(xiàn)實的世界，數(shù)學的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經(jīng)驗。

　　整數(shù)是在對于對象的有限整合進行計算的過程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數(shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分數(shù)，所以對于進行實際量度是足夠的。

　　有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分數(shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是，每一個有理數(shù)都對應著直線上的一個點。

　　古代數(shù)學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，畢氏學派大約在公元前400年發(fā)現(xiàn)：直線上存在不對應任何有理數(shù)的點。特別是，他們證明了：這條直線上存在點p不對應于有理數(shù)，這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發(fā)明新的數(shù)對應這樣的點，并且因為這些數(shù)不可能是有理數(shù)，只好稱它們?yōu)闊o理數(shù)。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢氏學派的最偉大成就之一，也是數(shù)學史上的重要里程碑。

　　無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學危機。首先，對于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學，這是一次致命的打擊。其次，無理數(shù)看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的，因為與直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學派關(guān)于比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢氏學派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關(guān)于相似形的一般理論也失效了。