《1.2 應用舉例（2）》測試題

　　一、選擇題

　　1.有一長為米的斜坡，它的坡度為，公路建設部門根據要求需要在坡底填土，使斜坡的坡度變為，則坡底將伸長( ).

　　A.米 B. 米 C. 米 D. 米

　　考查目的：考查正弦定理、二倍角正弦公式的基本應用.

　　答案：D.

　　解析：如圖，原斜坡為，填土后的斜坡為，要求的長. 根據題意可知，，，，根據正弦定理得，∴.

　　2.(2010北京文)某班設計了一個八邊形的班徽(如圖)，它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為( ).

　　A. B.

　　C. D.

　　考查目的：考查三角形面積公式、直角三角形邊角關系或余弦定理，以及三角恒等變形能力.

　　答案：A.

　　解析：根據已知條件，四個等腰三角形的面積之和為，由直角三角形的邊角關系得正方形的邊長為，所以該八邊形的面積為 .

　　3.(由2009浙江文改編)在中，角所對的邊分別為，且滿足，若．則的面積為( ).

　　A. B. C. D.

　　考查目的：考查二倍角余弦公式、同角三角函數的基本關系式、三角形面積公式、向量的數量積以及運算求解能力.

　　答案：C.

　　解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面積為.

　　二、填空題

　　4.(2011上海理)在相距2千米的兩點處測量目標，若，，則兩點之間的距離是 千米.

　　考查目的：考查三角形內角和定理、正弦定理的應用.

　　答案：.

　　解析：根據三角形內角和定理得，，∴由正弦定理得，∴.

　　5.三角形的一邊長為，這條邊所對的角為，另兩邊之比為，則這個三角形的面積為 .

　　考查目的：考查余弦定理及三角形面積公式.

　　答案：.

　　解析：不妨設的邊，，，則由余弦定理得，兩式聯立解得，，∴.

　　6.我艦在島南偏西方向相距的處發現敵艦正從島沿北偏西的方向以每小時的速度航行，若我艦要用小時追上敵艦，則我艦追擊的速度為 ，方向為 (精確到).

　　考查目的：考查正弦定理、余弦定理以及方程思想的應用.

　　答案：小時，北偏東.

　　解析：設我艦以速度航行，在處追上敵艦. 在中，由題意知，，，，所以根據余弦定理得，，∴.設我艦追擊的方向為北偏東角度，由正弦定理得，，∴，故.

　　三、解答題：

　　7.(2008上海)如圖，某住宅小區的平面圖呈扇形．小區的兩個出入口設置在點及點處，小區里有兩條筆直的小路，，且拐彎處的轉角為．已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘．若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長(精確到1米)．

　　考查目的：考查利用余弦定理解決實際問題的能力以及運算求解能力.

　　答案：米

　　解析：(方法一)設該扇形的半徑為米. 由題意，得米，米，.在中， 即，解得(米).

　　(方法二)連接，作，交于，由題意，得米，米，，在中，，∴米. .在直角中，(米)，，∴ (米).

　　8.在中，的對邊分別為，為邊上的高，且，試求的最大值.

　　考查目的：考查余弦定理、三角形面積公式、三角函數的恒等變形和性質以及運算求解能力.

　　答案：.

　　解析：由余弦定理，得. 兩邊同除以，得.∵，∴，即，代入上式得，(其中為銳角，且)，∴的最大值為.

　　數學的三次危機——第一次數學危機

　　從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。數學中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。

　　在數學史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。

　　數學的發展就經歷過三次關于基礎理論的危機。

　　一、第一次數學危機

　　從某種意義上來講，現代意義下的數學，也就是作為演繹系統的純粹數學，來源予古希臘畢達哥拉斯學派。它是一個唯心主義學派，興旺的時期為公元前500年左右。他們認為，“萬物皆數”(指整數)，數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用于現實的世界，數學的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經驗。

　　整數是在對于對象的有限整合進行計算的過程中產生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數。于是，如果定義有理數為兩個整數的商，那么由于有理數系包括所有的整數和分數，所以對于進行實際量度是足夠的。

　　有理數有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數，正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。以q為分母的分數，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是，每一個有理數都對應著直線上的一個點。

　　古代數學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，畢氏學派大約在公元前400年發現：直線上存在不對應任何有理數的點。特別是，他們證明了：這條直線上存在點p不對應于有理數，這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發明新的數對應這樣的點，并且因為這些數不可能是有理數，只好稱它們為無理數。無理數的發現，是畢氏學派的最偉大成就之一，也是數學史上的重要里程碑。

　　無理數的發現，引起了第一次數學危機。首先，對于全部依靠整數的畢氏哲學，這是一次致命的打擊。其次，無理數看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的，因為與直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學派關于比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢氏學派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關于相似形的一般理論也失效了。